Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

13
Далее
∂
i
P
k
s
= −t(∂
i
Γ
k
js
p
j
+ Γ
k
js
∂
i
p
j
), ∂
i
Q
s
m
= −t(∂
i
Γ
s
jm
q
j
+ Γ
s
jm
∂
i
q
j
).
Поэтому, пренебрегая членами, содержащими t
3
, получим
t(q
i
(x)∂
i
P
k
s
Q
s
m
= −t
2
q
i
(∂
i
Γ
k
jm
p
j
+ Γ
k
jm
∂
i
p
j
)
и аналогично
t(p
i
(x)∂
i
Q
k
s
P
s
m
= −t
2
p
i
(∂
i
Γ
k
jm
q
j
+ Γ
k
im
∂
i
q
j
).
Вычисляя разность этих двух выражений, следует иметь ввиду, что векторные поля
p и q, являясь операторами частных производных, коммутируют друг с другом, т. е.
(лекция 22)
[p, q]
j
= p
i
∂
i
q
j
− q
i
∂
i
p
j
= 0.
Следовательно, заменяя индексы суммирования во втором члене, получим
t((q
i
(x)∂
i
P
k
s
Q
s
m
− p
i
(x)∂
i
Q
k
s
P
s
m
) = t
2
(∂
i
Γ
k
jm
− ∂
j
Γ
k
im
)p
i
q
j
.
В итоге мы приходим к формуле
∆a
k
= t
2
R
k
mij
(x)p
i
q
j
(x)a
m
,
которая вследствие косой симметрии тензора кривизны по индексам i, j эквивалент-
на формуле (31). ¤
                                                                                                13

Далее
           ∂i Psk = −t(∂i Γkjs pj + Γkjs ∂i pj ), ∂i Qsm = −t(∂i Γsjm q j + Γsjm ∂i q j ).
Поэтому, пренебрегая членами, содержащими t3 , получим
                           t(q i (x)∂i Psk Qsm = −t2 q i (∂i Γkjm pj + Γkjm ∂i pj )
и аналогично
                     t(pi (x)∂i Qks Pms = −t2 pi (∂i Γkjm q j + Γkim ∂i q j ).
Вычисляя разность этих двух выражений, следует иметь ввиду, что векторные поля
p и q, являясь операторами частных производных, коммутируют друг с другом, т. е.
(лекция 22)
                              [p, q]j = pi ∂i q j − q i ∂i pj = 0.
Следовательно, заменяя индексы суммирования во втором члене, получим
                  t((q i (x)∂i Psk Qsm − pi (x)∂i Qks Pms ) = t2 (∂i Γkjm − ∂j Γkim )pi q j .
В итоге мы приходим к формуле
                                     ∆ak = t2 Rkmij (x)pi q j (x)am ,
которая вследствие косой симметрии тензора кривизны по индексам i, j эквивалент-
на формуле (31). ¤

Страницы