Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11
Определение. Оператором кривизны R(p, q) называется отображение, которое
при заданных векторных полях p, q всякому векторному полю a(x) ∈ XM ставит
в соответствие векторное поле R(p, q)a по формуле
R(p, q)a = ∇
p
∇
q
a − ∇
q
∇
p
a − ∇
[p,q]
a. (27)
Покажем, что этот оператор определяется тензором кривизны. Для этого запи-
шем его в координатах. Пусть p = p
i
∂
i
, q = q
j
∂
j
и a = a
k
∂
k
. Начнем с первого
слагаемого:
∇
p
∇
q
a
k
= p
i
{∂
i
(∇
q
a)
k
+ Γ
k
im
(∇
q
a)
m
} = p
i
{∂
i
[q
j
(∇
j
a
k
) + Γ
k
im
[q
j
(∂
j
a
m
+ Γ
m
js
a
s
)]} =
p
i
∂
i
q
j
(∇
j
a
k
) + p
i
q
j
(∂
i
∂
j
a
k
+ ∂
i
Γ
k
js
a
s
+ Γ
k
js
∂
i
a
s
+ Γ
k
im
∂
j
a
m
+ Γ
k
im
Γ
m
js
a
s
).
Второе слагаемое имеет аналогичное выражение, надо лишь поменять местами по-
ля p и q . После вычитания сократятся вторые члены в силу симметрии вторых
частных производных, а также четвертый с пятым и пятый с четвертым членами со-
ответственно. В результате, учитывая формулу (39) для тензора кривизны, а также
формулу для коммутатора векторных полей (лекция 22), получим
∇
p
∇
q
a
k
− ∇
q
∇
p
a
k
= R
k
sij
a
s
p
i
q
j
+ [p, q]
j
∇
j
a
k
.
Учитывая, что последний член этого выражения есть ∇
[p,q]
a
k
, получим в итоге сле-
дующее выражение для оператора кривизны
R(p, q)a = R
k
sij
a
s
p
i
q
j
∂
k
. (28)
В частности, для векторов натурального репера p = ∂
i
, q = ∂
j
будем иметь
R(∂
i
, ∂
j
)a = R
k
sij
a
s
∂
k
, (∇
i
∇
j
− ∇
j
∇
i
)a
k
= R
k
sij
a
s
.
23.2. Геометрический смысл тензора кривизны.
Как мы видели в лекции 23, параллельное перенесение определяет линейный изо-
морфизм касательных пространства P (x, t) : T
x
M → T
x(t)
M вдоль пути перенесения.
Для выяснения геометрического смысла тензора кривизны нам понадобится
Лемма. Компоненты оператора параллельного перенесения P (x, t) : T
x
M → T
x(t)
M
вдоль пути x(t) с начальной точкой x(0) = x и с начальным касательным векто-
ром p = (
dx
i
dt
(0)) с точностью до малых первого порядка относительно параметра
t равны
P
k
j
(x, t) = δ
k
j
− tΓ
k
ij
(x)p
i
. (29)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Условием параллельного перенесения вектора a вдоль
пути x = x(t) с начальной точкой x = x(0) является равенство (лекция 23)
da
k
dt
+ Γ
k
ij
(x(t))
dx
i
dt
a
j
(t) = 0 . (30)
Будем искать решение этой системы ОДУ в виде степенного ряда по параметру t
с начальным значением a
k
(0) = a
k
. Ограничиваясь учетом малых лишь первого
порядка, имеем
a
k
(t) = a
k
+ t
da
k
(t)
dt
(0) + . . .
Значение производной в начальной точке из условия параллельного перенесения рав-
но
da
k
(t)
dt
(0) = −Γ
k
ij
(x)p
i
a
j
, откуда
a
k
(t) = (δ
k
j
− Γ
k
ij
(x)p
i
)a
j
,
                                                                                                       11

  Определение. Оператором кривизны R(p, q) называется отображение, которое
при заданных векторных полях p, q всякому векторному полю a(x) ∈ XM ставит
в соответствие векторное поле R(p, q)a по формуле
                            R(p, q)a = ∇p ∇q a − ∇q ∇p a − ∇[p,q] a.                              (27)
  Покажем, что этот оператор определяется тензором кривизны. Для этого запи-
шем его в координатах. Пусть p = pi ∂i , q = q j ∂j и a = ak ∂k . Начнем с первого
слагаемого:
  ∇p ∇q ak = pi {∂i (∇q a)k + Γkim (∇q a)m } = pi {∂i [q j (∇j ak ) + Γkim [q j (∂j am + Γm   s
                                                                                          js a )]} =

         pi ∂i q j (∇j ak ) + pi q j (∂i ∂j ak + ∂i Γkjs as + Γkjs ∂i as + Γkim ∂j am + Γkim Γm   s
                                                                                              js a ).
Второе слагаемое имеет аналогичное выражение, надо лишь поменять местами по-
ля p и q . После вычитания сократятся вторые члены в силу симметрии вторых
частных производных, а также четвертый с пятым и пятый с четвертым членами со-
ответственно. В результате, учитывая формулу (39) для тензора кривизны, а также
формулу для коммутатора векторных полей (лекция 22), получим
                       ∇p ∇q ak − ∇q ∇p ak = Rksij as pi q j + [p, q]j ∇j ak .
Учитывая, что последний член этого выражения есть ∇[p,q] ak , получим в итоге сле-
дующее выражение для оператора кривизны
                                     R(p, q)a = Rksij as pi q j ∂k .                              (28)
В частности, для векторов натурального репера p = ∂i , q = ∂j будем иметь
                    R(∂i , ∂j )a = Rksij as ∂k ,   (∇i ∇j − ∇j ∇i )ak = Rksij as .


  23.2. Геометрический смысл тензора кривизны.

  Как мы видели в лекции 23, параллельное перенесение определяет линейный изо-
морфизм касательных пространства P (x, t) : Tx M → Tx(t) M вдоль пути перенесения.
Для выяснения геометрического смысла тензора кривизны нам понадобится
  Лемма. Компоненты оператора параллельного перенесения P (x, t) : Tx M → Tx(t) M
вдоль пути x(t) с начальной точкой x(0) = x и с начальным касательным векто-
             i
ром p = ( dx
           dt
               (0)) с точностью до малых первого порядка относительно параметра
t равны
                                Pjk (x, t) = δjk − tΓkij (x)pi .              (29)
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Условием параллельного перенесения вектора a вдоль
пути x = x(t) с начальной точкой x = x(0) является равенство (лекция 23)
                                    dak                 dxi j
                                          + Γkij (x(t))    a (t) = 0 .      (30)
                                     dt                 dt
Будем искать решение этой системы ОДУ в виде степенного ряда по параметру t
с начальным значением ak (0) = ak . Ограничиваясь учетом малых лишь первого
порядка, имеем
                                                     dak (t)
                                    ak (t) = ak + t          (0) + . . .
                                                        dt
Значение производной в начальной точке из условия параллельного перенесения рав-
     k
но dadt(t) (0) = −Γkij (x)pi aj , откуда
                                     ak (t) = (δjk − Γkij (x)pi )aj ,

Страницы