ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9
так что в итоге имеем тензорное поле с компонентами
∇
k
T
i
jm
= ∂
k
T
i
jm
+ T
s
jm
Γ
i
ks
− T
i
sm
Γ
s
kj
− T
i
js
Γ
s
km
. (21)
Для тензорных полей произвольной валентности формула получается аналогично.
22.3. Параллельное перенесение и геодезические линии.
Параллельное перенесение вектора вдоль заданного пути Γ : x = x(t) на многооб-
разии (M, ∇) , снабженном ковариантным дифференцированием, мы можем опреде-
лить так же, как и на поверхности. Для этого используем формулу для ковариантной
производной (16), ограничив ее на точки заданного пути с касательным вектором
h = (
dx
i
dt
) . Тогда она принимает вид
∇a
k
dt
=
³
da
k
dt
+ Γ
k
ij
(x(t))
dx
i
dt
a
j
(x)
´
∂
k
.
Определение. Векторное поле a(x) называется параллельным вдоль заданного
пути, если его ковариантная производная вдоль этого пути равна нулю:
da
k
dt
+ Γ
k
ij
(x(t))
dx
i
dt
a
j
(t) = 0 . (22)
Имеют место свойства параллельного перенесения, доказательство которых ана-
логично тем, которые были даны в лекции 19:
Теорема 4. Пусть в начальной точке A(t = 0) кусочно гладкого пути Γ : x = x(t)
задан вектор a ∈ T
A
M . Тогда во всякой точке этого пути существует единствен-
ный вектор, параллельный данному.
Теорема 5. Параллельное перенесение P (0, t) : T
0
M → T
t
M есть линейный изо-
морфизм касательных пространств.
Заметим, что вместе с этим определен линейный изоморфизм кокасательных про-
странства P
∗
(0, t) : T
∗
t
M → T
∗
0
M . Вследствие этого становится возможным парал-
лельное перенесение тензорных полей любой валентности. Условием этого является
обращение в нуль ковариантной производной вдоль заданной кривой x = x(t) , когда
h = (
dx
i
dt
) . Например, из формулы (21) следует, что для тензорного поля валентности
(1, 2)
∇T
i
jm
dt
=
dT
i
jm
dt
+ (T
s
jm
Γ
i
ks
− T
i
sm
Γ
s
kj
− T
i
js
Γ
s
km
)
dx
k
dt
= 0.
Определение. Гладкий путь Γ на многообразии называется геодезическим, если
при некотором каноническом выборе параметра его касательное векторное поле h =
(
dx
k
dt
) параллельно вдоль Γ .
Из (22) сразу вытекает, что функции x
k
= x
k
(t) должны удовлетворять системе
ОДУ 2-го порядка
d
2
x
k
dt
2
+ Γ
k
ij
(x(t))
dx
i
dt
dx
j
dt
= 0 . (23)
Теорема 6. Для всякой точки x ∈ M и всякого вектора a
x
∈ T
x
M в этой точке
существует единственный геодезический путь Γ : x = x(t) такой, что x(0) = x ,
dx
dt
(0) = a
x
.
Доказательство такое же, как и в теории поверхностей (лекция 19).
9
так что в итоге имеем тензорное поле с компонентами
i i s
∇k Tjm = ∂k Tjm + Tjm Γiks − Tsm
i
Γskj − Tjs
i s
Γkm . (21)
Для тензорных полей произвольной валентности формула получается аналогично.
22.3. Параллельное перенесение и геодезические линии.
Параллельное перенесение вектора вдоль заданного пути Γ : x = x(t) на многооб-
разии (M, ∇) , снабженном ковариантным дифференцированием, мы можем опреде-
лить так же, как и на поверхности. Для этого используем формулу для ковариантной
производной (16), ограничив ее на точки заданного пути с касательным вектором
i
h = ( dx
dt
) . Тогда она принимает вид
∇ak ³ dak dxi j ´
= + Γkij (x(t)) a (x) ∂k .
dt dt dt
Определение. Векторное поле a(x) называется параллельным вдоль заданного
пути, если его ковариантная производная вдоль этого пути равна нулю:
dak dxi j
+ Γkij (x(t)) a (t) = 0 . (22)
dt dt
Имеют место свойства параллельного перенесения, доказательство которых ана-
логично тем, которые были даны в лекции 19:
Теорема 4. Пусть в начальной точке A(t = 0) кусочно гладкого пути Γ : x = x(t)
задан вектор a ∈ TA M . Тогда во всякой точке этого пути существует единствен-
ный вектор, параллельный данному.
Теорема 5. Параллельное перенесение P (0, t) : T0 M → Tt M есть линейный изо-
морфизм касательных пространств.
Заметим, что вместе с этим определен линейный изоморфизм кокасательных про-
странства P ∗ (0, t) : Tt∗ M → T0∗ M . Вследствие этого становится возможным парал-
лельное перенесение тензорных полей любой валентности. Условием этого является
обращение в нуль ковариантной производной вдоль заданной кривой x = x(t) , когда
i
h = ( dx dt
) . Например, из формулы (21) следует, что для тензорного поля валентности
(1, 2)
i i
∇Tjm dTjm s dxk
= + (Tjm Γiks − Tsm
i
Γskj − Tjs
i s
Γkm ) = 0.
dt dt dt
Определение. Гладкий путь Γ на многообразии называется геодезическим, если
при некотором каноническом выборе параметра его касательное векторное поле h =
k
( dx
dt
) параллельно вдоль Γ .
Из (22) сразу вытекает, что функции xk = xk (t) должны удовлетворять системе
ОДУ 2-го порядка
d2 xk k dxi dxj
+ Γ ij (x(t)) = 0. (23)
dt2 dt dt
Теорема 6. Для всякой точки x ∈ M и всякого вектора ax ∈ Tx M в этой точке
существует единственный геодезический путь Γ : x = x(t) такой, что x(0) = x ,
dx
dt
(0) = ax .
Доказательство такое же, как и в теории поверхностей (лекция 19).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
