Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7
Это уравнение гиперплоскости Π
m−1
x
⊂ T
x
M в касательном пространстве этой точ-
ки. Следовательно, ковекторное поле в каждой точке многообразия задает гипер-
плоскость. В итоге мы получаем на многообразии (m − 1) -мерное распределение —
поле гиперплоскостей.
22.2. Ковариантное дифференцирование и связность.
В лекции 18 было введено понятие ковариантной производной векторного поля на
поверхности и затем с ее помощью определено понятие параллельного перенесения
вектора вдоль заданного пути на поверхности. При этом существенно использова-
лось то обстоятельство, что поверхность расположена в евклидовом пространстве.
Рассматривая теперь гладкое многообразие M как самостоятельный объект, мы не
имеем этой возможности. Поэтому установленные ранее свойства ковариантной про-
изводной мы возьмем в качестве ее определения.
Пусть X(M) — алгебра Ли гладких векторных полей на многообразии M и h —
заданное векторное поле.
Определение. Ковариантной производной в направлении h называется диффе-
ренциальный оператор ∇
h
, который всякому векторному полю a ∈ X(M ) ставит
в соответствие векторное поле ∇
h
a и удовлетворяет условиям:
1)∇
h
(λa + µb) = λ∇
h
a + µ∇
h
b , ∀λ, µ ∈ R; (12)
2) ∇
h
(fa) = f∇
h
a + (hf)a , ∀f ∈ F(M); (13)
3) ∇
fh
1
+gh
2
a = f∇
h
1
a + g∇
h
2
a ∀f, g ∈ F(M). (14)
Многообразие, на котором задана операция ковариантного дифференцирования, обо-
значается (M, ∇ ) .
Пусть (U, x
i
) — карта на (M, ∇) и {∂
i
} — натуральный репер. Введем для упро-
щения записи обозначение ∇
∂
i
= ∇
i
и положим
∇
i
∂
j
= Γ
k
ij
(x)∂
k
. (15)
Это деривационные уравнения поля натуральных реперов. С помощью этой формулы
ковариантную производную можно вычислить в координатах. Пусть a = a
j
(x)∂
j
.
Тогда, учитывая свойства (12) – (14), получим векторное поле ∇
h
a с компонентами
∇
h
a
k
= h
i
(∂
i
a
k
+ Γ
k
ij
a
j
) . (16)
В частности, при ковариантном дифференцировании в направлении координатных
линий
∇
i
a
k
= ∂
i
a
k
+ Γ
k
ij
a
j
. (17)
Эти формулы знакомы нам по лекции 18. Таким образом, задание операции кова-
риантного дифференцирования эквивалентно заданию в каждой карте совокупности
функций Γ
k
ij
(x) . Эти функций называются компонентами линейной связности от-
носительно заданной карты.
Следует, однако, иметь ввиду, что при переходе к другим координатам компоненты
связности, как это видно непосредственно из формулы (15), изменятся. Выясним, как
эти компоненты преобразуются при замене координат x
i
= f
i
(x
i
0
) на пересечении
(U, x
i
) ∩ (U
0
, x
i
0
) двух карт.
Теорема 3. При переходе от одних координат к другим компоненты линейной связ-
ности преобразуются по следующему закону
Γ
k
0
i
0
j
0
(x
0
) = f
k
0
k
(Γ
k
ij
(x)f
i
i
0
f
j
j
0
+ f
k
i
0
j
0
), (18)
                                                                                           7

Это уравнение гиперплоскости Πm−1
                               x   ⊂ Tx M в касательном пространстве этой точ-
ки. Следовательно, ковекторное поле в каждой точке многообразия задает гипер-
плоскость. В итоге мы получаем на многообразии (m − 1) -мерное распределение —
поле гиперплоскостей.

  22.2. Ковариантное дифференцирование и связность.

  В лекции 18 было введено понятие ковариантной производной векторного поля на
поверхности и затем с ее помощью определено понятие параллельного перенесения
вектора вдоль заданного пути на поверхности. При этом существенно использова-
лось то обстоятельство, что поверхность расположена в евклидовом пространстве.
Рассматривая теперь гладкое многообразие M как самостоятельный объект, мы не
имеем этой возможности. Поэтому установленные ранее свойства ковариантной про-
изводной мы возьмем в качестве ее определения.
  Пусть X(M ) — алгебра Ли гладких векторных полей на многообразии M и h —
заданное векторное поле.
  Определение. Ковариантной производной в направлении h называется диффе-
ренциальный оператор ∇h , который всякому векторному полю a ∈ X(M ) ставит
в соответствие векторное поле ∇h a и удовлетворяет условиям:
                    1)∇h (λa + µb) = λ∇h a + µ∇h b ,                       ∀λ, µ ∈ R;   (12)
                     2) ∇h (f a) = f ∇h a + (hf )a , ∀f ∈ F(M );            (13)
                      3) ∇f h1 +gh2 a = f ∇h1 a + g∇h2 a ∀f, g ∈ F(M ).     (14)
Многообразие, на котором задана операция ковариантного дифференцирования, обо-
значается (M, ∇) .
  Пусть (U, xi ) — карта на (M, ∇) и {∂i } — натуральный репер. Введем для упро-
щения записи обозначение ∇∂i = ∇i и положим
                                      ∇i ∂j = Γkij (x)∂k .                              (15)
Это деривационные уравнения поля натуральных реперов. С помощью этой формулы
ковариантную производную можно вычислить в координатах. Пусть a = aj (x)∂j .
Тогда, учитывая свойства (12) – (14), получим векторное поле ∇h a с компонентами
                                ∇h ak = hi (∂i ak + Γkij aj ) .                         (16)
В частности, при ковариантном дифференцировании в направлении координатных
линий
                                  ∇i ak = ∂i ak + Γkij aj .                  (17)
Эти формулы знакомы нам по лекции 18. Таким образом, задание операции кова-
риантного дифференцирования эквивалентно заданию в каждой карте совокупности
функций Γkij (x) . Эти функций называются компонентами линейной связности от-
носительно заданной карты.
  Следует, однако, иметь ввиду, что при переходе к другим координатам компоненты
связности, как это видно непосредственно из формулы (15), изменятся. Выясним, как
                                                                0
эти компоненты преобразуются при замене координат xi = f i (xi ) на пересечении
                    0
(U, xi ) ∩ (U 0 , xi ) двух карт.
Теорема 3. При переходе от одних координат к другим компоненты линейной связ-
ности преобразуются по следующему закону
                            0                0
                         Γki0 j 0 (x0 ) = fkk (Γkij (x)fii0 fjj 0 + fik0 j 0 ),         (18)

Страницы