Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 91 стр.

                                                                                          5

  Пример. Пусть в евклидовом пространстве E3 в прямоугольных координатах
задано векторное поле a(x, y, z) = (−y, x, 1) . Интегрируя систему
                          dx            dy         dz
                               = −y,        = x,      = 1,
                           dt           dt         dt
при начальном условии x(0) = x , y(0) = y , z(0) = z , получим преобразования
            x(t) = x cos t − y sin t,   y(t) = x sin t + y cos t,     z(t) = z + t .
Интегральные пути этого потока образуют 2-параметрическое семейство винтовых
линий.
   Рассмотрим множество X(M ) всех гладких векторных полей на многообразии M
с операциями сложения a + b и умножения на функции F (x)a (в частности, на
числа). Эти операции выполняются поточечно. Определим на множестве X(M ) еще
одну операцию. Для этого рассмотрим сначала понятие композиции векторных по-
лей. Будем рассматривать векторные поля как линейные дифференциальные опера-
торы. Если F (x) — гладкая функция на M , то a(F ) = ai (x)∂i F есть также гладкая
функция на M . Другими словами, всякое векторное поле определяет преобразование
a : F(M ) → F(M ) в кольце гладких функций. Следовательно, если a и b — два век-
торных поля, то можно построить композицию a ◦ b(F ) = a(b(F )) соответствующих
преобразований
                        a ◦ b(F ) = (ai ∂i bj )∂j F + ai bj ∂i ∂j F .
Отсюда видно, что композиция не является векторным полем. Но коммутатор (или
скобка) векторных полей
                                [a, b] = a ◦ b − b ◦ a                          (9)
есть снова векторное поле. Действительно, его координатное выражение имеет вид
                              [a, b]F = (ai ∂i bj − bi ∂i aj )∂j F.                    (10)
Следовательно, это векторное поле имеет компоненты
                                 [a, b]j = ai ∂i bj − bi ∂i aj .
Теорема 2. Коммутатор обладает следующими свойствами:
1) Он кососимметричен: [a, b] = −[b, a] ;
2) Он R -линеен по каждому сомножителю, например: [λa+µb, c] = λ[a, c]+µ[b, c] ;
3) Выполняется тождество Якоби: [[a, b], c] + [[c, a], b] + [[b, c], a] = 0 .
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Первые два свойства очевидны. Третье проверяется
непосредственными вычислениями с использованием формулы (10) . ¤
  Выполнение этих свойств означает, что F -модуль X(M ) как векторное простран-
ство является (бесконечномерной) алгеброй Ли.
  Пример. Векторные поля на плоскости a = ∂x (поток — переносы прараллельно
оси X ) и b = −y∂x + x∂y (поток — вращения вокруг начала координат) имеют
коммутатор [a, b] = ∂y . Его поток — переносы параллельно оси Y .
  Задача. Докажите, что если f (x), g(x) — гладкие функции, то
                        [f a, gb] = f g[a, b] + f a(g)b − gb(f )a .