Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 90 стр.

4

  Определение. Интегральным путем или траекторией векторного поля назы-
вается параметризованная кривая Γ : x = x(t) , касательные векторы которой в
точках пути совпадают с векторами этого поля:

                                   dxi
                                       = ai (xk (t)) .                             (7)
                                   dt
Таким образом, нахождение интегральных путей сводится к интегрированию систе-
мы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В силу теоремы Коши че-
рез каждую точку x ∈ M многообразия проходит единственный интегральный путь
векторного поля, определенный в некотором интервале. Векторное поле называется
полным, если решение определено на всей вещественной прямой R . В дальнейшем
для простоты будем рассматривать только полные векторные поля.
  На практике способом отыскания решений часто является нахождение первых ин-
тегралов системы (7), т. е. таких функций F (x) , которые постоянны вдоль инте-
гральных линий: F (x(t)) = const . Это значит, что интегральные пути лежат на ги-
перповерхностях F (x) = const . Поэтому знание интеграла позволяет понизить число
уравнений системы (7) на единицу, поскольку сводит дело к отысканию искомых пу-
тей на гиперповерхностях F (x1 , . . . , xm ) = const — многообразиях на единицу мень-
шей размерности. Если удалось найти m − 1 независимых интегралов, то система
F1 (x) = c1 , . . . Fm−1 (x) = cm−1 дает нам неявные уравнения искомых интегральных
путей. Следующая теорема хорошо известна
Теорема. Функция F (x) является первым интегралом системы (7) тогда и толь-
ко тогда, когда a(F ) = ai (x)∂i F = 0 .
  С векторным полем связано такое важное понятие как поток. Пусть x ∈ M — про-
извольная точка многообразия и x(t) = ϕt (x) — проходящий через нее интегральный
путь векторного поля — решение системы (7).
  Определение. 1-параметрическое семейство преобразований ϕt : M → M , опре-
деляемое формулой
                               ϕt : x → ϕt (x),    t∈R                             (8)
называется потоком векторного поля.

Теорема 1. Пусть a — векторное поле и ϕt — соответствующий поток. Тогда
  1) ϕt ◦ ϕs = ϕt+s ,
  2) Отображения ϕt являются диффеоморфизмами.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем некоторое значение s и рассмотрим решение
системы (7) с начальным условием x(s) : ϕt (x(s)) = ϕt ◦ ϕs (x) . С другой стороны,
x(t) = ϕt+s (x) также является, очевидно, решением системы (7) с начальным усло-
вием x(0) = ϕs (x) . Тогда первое свойство следует из единственности решения при
заданном начальном условии. Так как, кроме того, ϕ0 = Id , то положив t + s = 0 ,
получим ϕ−1 (t) = ϕ(−t) и, следовательно, обратные преобразования существуют и
также гладкие. ¤
   Обратно, если на многообразии задан поток своими преобразованиями      ¯  x(t) =
                                                               i      dxi ¯
ϕt (x) , то находя касательные векторы к его траекториям a (x) = dt t=0 , мы по-
лучим векторное поле, порождающее этот поток. Таким образом, между гладкими
векторными полями и их потоками существует биективное соответствие.
   Указанные в теореме свойства потока говорят о том, что семейство ϕt (x) образует
группу. Ее называют 1-параметрической группой, порожденной векторным полем.