Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3
Рассмотрим множество T
x
M всех касательных векторов в этой точке. Определив
на этом множестве обычным образом операции сложения a
x
+ b
x
= (a
i
+ b
i
) и умно-
жения на число λa
x
= (λa
i
) , получим векторное пространство, которое называется
касательным векторным пространством многообразия в точке x . Можно доказать,
что оно имеет ту же размерность, что и данное многообразие.
Отождествим вектор с линейным дифференциальным оператором, который обо-
значим той же буквой
a
x
= a
i
∂
∂x
i
:= a
i
∂
i
. (3)
При этом оператор ∂
i
имеет компоненты (0, . . . , 1
i
, . . . , 0) и поэтому отождествляет-
ся с касательным вектором к i -ой координатной линии. В совокупности они образуют
базис касательного пространства {∂
i
}, а вместе с точкой x — репер {x, ∂
i
} в этой
точке x . Этот репер однозначно связан с выбранной картой и в отличие от других
называется натуральным репером.
Построим сопряженное с ним векторное пространство. Для этого в точке x рас-
смотрим дифференциал гладкой функции F : U → R , определенной в окрестности
этой точки
dF
x
=
∂F (x)
∂x
i
dx
i
. (4)
Это линейная форма в точке x , определяющая линейное отображение T
x
M → R :
всякому вектору a
x
в этой точке она ставит в соответствие число
dF
x
(a
x
) = a
i
∂
i
F = a
x
(F ). (5)
Множество всех таких линейных форм образует сопряженное векторное простран-
ство с линейными операциями
dF
x
+ dG
x
= d(F + G)
x
, λdF
x
= d(λF )
x
, λ ∈ R.
Оно называется кокасательным векторным пространством в точке x и обозначает-
ся T
∗
x
M . Элементы пространства T
∗
x
M называются ковариантными векторами или,
короче, ковекторами в точке x . Основанием для этого является ковекторный закон
преобразования их компонент — значений градиента a
i
= (∂
i
F )
x
, вычисленных в
точке x . В самом деле, при переходе к другой карте мы имеем
a
i
0
= f
i
i
0
(x) a
i
, f
i
i
0
=
∂x
i
∂x
i
0
. (6)
Это закон преобразования ковектора.
Из (4) следует, что дифференциалы координатных функций dx
i
образуют базис
кокасательного пространства. Совокупность {x, dx
i
} называют натуральным коре-
пером в точке x . Легко видеть, что натуральные репер и корепер сопряжены. Дей-
ствительно, вследствие формулы (5) dx
i
(∂
j
) = ∂
j
x
i
= δ
i
j
.
21.3. Векторные поля и их интегральные пути. Коммутатор векторных
полей.
Пусть M — гладкое многообразие.
Определение. Векторным полем на многообразии называется отображение, ко-
торое каждой точке x ∈ M ставит в соответствие вектор a
x
∈ T
x
M в этой
точке.
В координатах векторное поле имеет вид a = a
i
(x)∂
i
и, следовательно, задается m
функциями a
i
(x
1
, . . . , x
m
) . Векторное поле называется гладким, если эти функции
гладкие.
                                                                                         3

  Рассмотрим множество Tx M всех касательных векторов в этой точке. Определив
на этом множестве обычным образом операции сложения ax + bx = (ai + bi ) и умно-
жения на число λax = (λai ) , получим векторное пространство, которое называется
касательным векторным пространством многообразия в точке x . Можно доказать,
что оно имеет ту же размерность, что и данное многообразие.
  Отождествим вектор с линейным дифференциальным оператором, который обо-
значим той же буквой
                                         ∂
                                 ax = ai i := ai ∂i .                                  (3)
                                        ∂x
При этом оператор ∂i имеет компоненты (0, . . . , 1i , . . . , 0) и поэтому отождествляет-
ся с касательным вектором к i -ой координатной линии. В совокупности они образуют
базис касательного пространства {∂i } , а вместе с точкой x — репер {x, ∂i } в этой
точке x . Этот репер однозначно связан с выбранной картой и в отличие от других
называется натуральным репером.
  Построим сопряженное с ним векторное пространство. Для этого в точке x рас-
смотрим дифференциал гладкой функции F : U → R , определенной в окрестности
этой точки
                                        ∂F (x) i
                                  dFx =       dx .                                     (4)
                                          ∂xi
Это линейная форма в точке x , определяющая линейное отображение Tx M → R :
всякому вектору ax в этой точке она ставит в соответствие число
                               dFx (ax ) = ai ∂i F = ax (F ).                          (5)
Множество всех таких линейных форм образует сопряженное векторное простран-
ство с линейными операциями
                  dFx + dGx = d(F + G)x ,            λdFx = d(λF )x ,   λ ∈ R.
Оно называется кокасательным векторным пространством в точке x и обозначает-
ся Tx∗ M . Элементы пространства Tx∗ M называются ковариантными векторами или,
короче, ковекторами в точке x . Основанием для этого является ковекторный закон
преобразования их компонент — значений градиента ai = (∂i F )x , вычисленных в
точке x . В самом деле, при переходе к другой карте мы имеем
                                                               ∂xi
                               ai0 = fii0 (x) ai ,    fii0 =        .                  (6)
                                                               ∂xi0
Это закон преобразования ковектора.
  Из (4) следует, что дифференциалы координатных функций dxi образуют базис
кокасательного пространства. Совокупность {x, dxi } называют натуральным коре-
пером в точке x . Легко видеть, что натуральные репер и корепер сопряжены. Дей-
ствительно, вследствие формулы (5) dxi (∂j ) = ∂j xi = δji .

  21.3. Векторные поля и их интегральные пути. Коммутатор векторных
полей.

  Пусть M — гладкое многообразие.
  Определение. Векторным полем на многообразии называется отображение, ко-
торое каждой точке x ∈ M ставит в соответствие вектор ax ∈ Tx M в этой
точке.
В координатах векторное поле имеет вид a = ai (x)∂i и, следовательно, задается m
функциями ai (x1 , . . . , xm ) . Векторное поле называется гладким, если эти функции
гладкие.

Страницы