Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

III. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Лекция 21. ПОНЯТИЕ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ
21.1. Определение гладкого многообразия.
Многообразия являются широким многомерным обобщением понятия поверхно-
сти, в частности, ее внутренней геометрии.
Определение. Связное топологическое пространство M называется m-мерным
вещественным многообразием, если для всякой его точки x ∈ M существует
окрестность U , гомеоморфная области вещественного пространства R
m
.
Замечание. Если вместо R
m
взять комплексное пространство C
m
, то получим
m -мерное комплексное многообразие.
Итак, m -мерное многообразие локально устроено как область в R
m
. Пусть ϕ :
U → ϕ(U) ⊂ R
m
указанный гомеоморфизм. Пара (U, ϕ) называется картой. Вся-
кой точке x ∈ (U, ϕ) соответствует набор вещественных чисел ϕ(x) = (x
1
, . . . , x
m
) ,
которые называются координатами этой точки в заданной карте. Изменяя только
одну координату, мы получим на многообразии координатные линии, образующие
в совокупности координатную сеть карты. Все многообразие покрывается набором
таких карт — атласом A = {(U
α
, ϕ
α
}.
Данное выше определение многообразия является слишком общим. Рассмотрим
более специальный класс гладких многообразий , которые определяются следующим
образом. Всякая точка попадает, вообще говоря, в зону действия нескольких карт и
если сравнивать ее координаты x
i
и x
i
0
в двух разных картах (U, ϕ) и (V, ψ) , то
возникает преобразование в R
m
: f = ψ◦ϕ
−1
: ϕ(U) → ψ(V ) , которое в общем случае
является гомеоморфным и называется переходной функцией. Она задает преобразо-
вание координат и имеет вид x
i
0
= f
i
0
(x
j
) .
Определение. Многообразие называется гладким, если существует такой ат-
лас, что для каждой пары карт этого атласа переходные функции являются глад-
кими.
Определение. Гладкое многообразие называется ориентируемым, если на нем
существует атлас, для которого все функции перехода имеют положительный
якобиан
J = det
³
∂x
i
0
∂x
j
´
> 0.
Отсюда следует, что на ориентируемом многообразии может существовать лишь две
ориентации. Если выбрана одна из них, то многообразие называется ориентирован-
ным.
Определение. Гладкое многообразие N называется подмногообразием (или по-
верхностью) в M , если задано гладкое отображение F : N → M , которое явля-
ется вложением.
Это значит, что это отображение является 1) регулярным и 2) гомеоморфизмом на
свой образ (лекц. 1). Локально, в координатах подмногообразие задается уравнени-
ями
x
i
= F
i
(u
1
, . . . , u
n
) n < m.
При этом первое условие означает, что ранг якобиевой матрицы J = (
∂x
i
∂u
a
) равен n на
подмногообразии, а второе — атлас подмногообразия эквивалентен индуцированному
атласу, образованному картами (U
α
∩ N, ϕ
α
◦ F ) . При n = m − 1 подмногообразие
называется гиперповерхностью.
1
                      III. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

             Лекция 21. ПОНЯТИЕ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ

  21.1. Определение гладкого многообразия.

  Многообразия являются широким многомерным обобщением понятия поверхно-
сти, в частности, ее внутренней геометрии.
  Определение. Связное топологическое пространство M называется m-мерным
вещественным многообразием, если для всякой его точки x ∈ M существует
окрестность U , гомеоморфная области вещественного пространства Rm .
  Замечание. Если вместо Rm взять комплексное пространство Cm , то получим
m -мерное комплексное многообразие.
  Итак, m -мерное многообразие локально устроено как область в Rm . Пусть ϕ :
U → ϕ(U ) ⊂ Rm указанный гомеоморфизм. Пара (U, ϕ) называется картой. Вся-
кой точке x ∈ (U, ϕ) соответствует набор вещественных чисел ϕ(x) = (x1 , . . . , xm ) ,
которые называются координатами этой точки в заданной карте. Изменяя только
одну координату, мы получим на многообразии координатные линии, образующие
в совокупности координатную сеть карты. Все многообразие покрывается набором
таких карт — атласом A = {(Uα , ϕα } .
  Данное выше определение многообразия является слишком общим. Рассмотрим
более специальный класс гладких многообразий , которые определяются следующим
образом. Всякая точка попадает, вообще говоря, в зону действия нескольких карт и
                                            0
если сравнивать ее координаты xi и xi в двух разных картах (U, ϕ) и (V, ψ) , то
возникает преобразование в Rm : f = ψ ◦ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) , которое в общем случае
является гомеоморфным и называется переходной функцией. Она задает преобразо-
                                0      0
вание координат и имеет вид xi = f i (xj ) .
  Определение. Многообразие называется гладким, если существует такой ат-
лас, что для каждой пары карт этого атласа переходные функции являются глад-
кими.
  Определение. Гладкое многообразие называется ориентируемым, если на нем
существует атлас, для которого все функции перехода имеют положительный
якобиан
                                            ³ ∂xi0 ´
                                  J = det              > 0.
                                               ∂xj
Отсюда следует, что на ориентируемом многообразии может существовать лишь две
ориентации. Если выбрана одна из них, то многообразие называется ориентирован-
ным.
  Определение. Гладкое многообразие N называется подмногообразием (или по-
верхностью) в M , если задано гладкое отображение F : N → M , которое явля-
ется вложением.
Это значит, что это отображение является 1) регулярным и 2) гомеоморфизмом на
свой образ (лекц. 1). Локально, в координатах подмногообразие задается уравнени-
ями
                            xi = F i (u1 , . . . , un ) n < m.
                                                                   ∂x    i
При этом первое условие означает, что ранг якобиевой матрицы J = ( ∂u a ) равен n на

подмногообразии, а второе — атлас подмногообразия эквивалентен индуцированному
атласу, образованному картами (Uα ∩ N, ϕα ◦ F ) . При n = m − 1 подмногообразие
называется гиперповерхностью.
                                           1

Страницы