Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 85 стр.

44

Отсюда следует, что во всех рассматриваемых случаях c2 (v) = 0 . Кроме того, мы
выбираем c1 (v) = 1 из соображений положительной определенности первой квадра-
тичной формы. В итоге это дает доказательство теоремы. ¤
  Следствие. Для того, чтобы две поверхности постоянной кривизны были ло-
кально изометричны, необходимо и достаточно, чтобы их гауссовы кривизны сов-
падали.
  До сих пор мы имели только необходимость этого условия. Оно имеет место для
любых изометричных поверхностей и вытекает из теоремы Гаусса (лекция 17). Но
если поверхности имеют одинаковую постоянную гауссову кривизну, то по доказан-
ной теореме их первые квадратичные формы могут быть приведены к одному и тому
же каноническому виду, а значит, они локально изометричны.

     20.3. Псевдосфера и геометрия Лобачевского.

    Рассмотрим теперь вопрос о реальном существовании поверхностей с найденны-
ми выше метриками. Он очевиден для метрик нулевой и положительной постоянной
гауссовой кривизны. Поверхностями с такой кривизной являются в первом случае
развертывающиеся поверхности, в частности, плоскость, а во втором — сферы или об-
ласть на сфере (п. 17.3, пр. 2). Что касается поверхностей постоянной отрицательной
кривизны, то вопрос о существовании таких поверхностей остается пока открытым.
Другими словами, надо доказать, что поверхности постоянной отрицательной гаус-
совой кривизны, на которых реализуются найденные выше метрики, действительно
существуют. Будем искать пример среди поверхностей вращения.
    Определение. Трактрисой называется плоская кривая, которая обладает тем
свойством, что отрезок ее касательной между точкой касания и точкой пересе-
чения с некоторой прямой — базой трактрисы, имеет постоянную длину.
    Для вывода ее уравнения мы предположим, что кривая находится в плоскости
XZ , а базой является ось Z . Длину отрезка AC касательной обозначим через a ,
а угол, который он образует с осью OZ через t . Будем искать уравнение кривой в
параметрическом виде, приняв за параметр этот угол. Тогда абсцисса точки A равна
                                                   dz
x = a sin t , а угловой коэффициент касательной dx    = ctg t . Отсюда dz = ctg t dx =
a cos2 t
  sin t
         dt . Интегрируя, получим при начальном условии z( π2 ) = 0 параметрические
уравнения трактрисы в виде
                                                  t            π
                 x(t) = a sin t,
                            z(t) = a(cos t + ln tg ) , 0 < t ≤ .
                                                  2            2
Будем теперь вращать трактрису вокруг оси Z . Используя результаты п. 12.1, по-
лучим поверхность вращения r(t, ϕ) = x(t)e(ϕ) + z(t)k с уравнением
                                                           t
                     r(t, ϕ) = a[sin te(ϕ) + (cos t + ln tg )]k,
                                                           2
которая называется псевдосферой.
Теорема 27. Псевдосфера есть поверхность постоянной отрицательной гауссовой
кривизны.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Подсчитаем коэффициенты первой квадратичной формы
этой поверхности. Они равны
                      g11 = x0 (t)2 + z 0 (t)2 ,   g12 = 0,   g22 = x(t)2 .