Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

45
Вычисляя производные, получим
x
0
(t) = a cos t, z
0
(t) =
a cos
2
t
sin t
,
откуда
g
11
= a
2
ctg
2
t, g
12
= 0, g
22
= a
2
sin
2
t
и, значит, A = a ctg t , B = a sin t . Так как координатная сеть на поверхности ор-
тогональна, то для вычисления гауссовой кривизны можно применит формулу (48).
Обратим внимание на то, что коэффициенты A, B не зависят от ϕ . Поэтому эта
формула упрощается
K = −
1
AB
³
B
t
A
´
t
.
В результате получим K = −
1
a
2
. Это доказывает наше утверждение. ¤
Псевдосфера сыграла важную роль в истории геометрии. В 1868 г. итальянский
математик Бельтрами, изучая поверхности постоянной кривизны, обнаружил, что
внутренняя геометрия псевдосферы совпадает с планиметрией Лобачевского. Так
была найдена первая модель этой неевклидовой геометрии и тем самым доказана ее
логическая непротиворечивость. В частности, было показано, что если на псевдосфе-
ре рассмотреть любой треугольник, сторонами которого являются отрезки геодези-
ческих, то сумма его внутренних углов будет меньше π . Как известно, это свойство
равносильно выполнению аксиомы параллельности в форме Лобачевского.
                                                                                 45

Вычисляя производные, получим
                                                          a cos2 t
                          x0 (t) = a cos t,   z 0 (t) =            ,
                                                           sin t
откуда
                        g11 = a2 ctg2 t, g12 = 0, g22 = a2 sin2 t
и, значит, A = a ctg t , B = a sin t . Так как координатная сеть на поверхности ор-
тогональна, то для вычисления гауссовой кривизны можно применит формулу (48).
Обратим внимание на то, что коэффициенты A, B не зависят от ϕ . Поэтому эта
формула упрощается
                                            1 ³ Bt ´
                                    K=−              .
                                          AB A t
В результате получим K = − a12 . Это доказывает наше утверждение. ¤
  Псевдосфера сыграла важную роль в истории геометрии. В 1868 г. итальянский
математик Бельтрами, изучая поверхности постоянной кривизны, обнаружил, что
внутренняя геометрия псевдосферы совпадает с планиметрией Лобачевского. Так
была найдена первая модель этой неевклидовой геометрии и тем самым доказана ее
логическая непротиворечивость. В частности, было показано, что если на псевдосфе-
ре рассмотреть любой треугольник, сторонами которого являются отрезки геодези-
ческих, то сумма его внутренних углов будет меньше π . Как известно, это свойство
равносильно выполнению аксиомы параллельности в форме Лобачевского.

Страницы