ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
43
являются полярные координаты. Здесь мы имеем пучок прямых (геодезических) и
их ортогональные траектории — окружности.
2) Используя предыдущий пример, легко построить полугеодезические координа-
ты на развертывающихся поверхностях. Полугедезическая сеть соответствует сети
прямоугольных или полярных координат при их наложении на плоскость.
3) Менее тривиальным примером служат географические координаты на сфере.
В самом деле, меридианы сферы образуют 1-параметрическое семейство ее больших
окружностей — геодезических, а параллели являются ортогональными траекториями
этого семейства. Базой этих координат является экватор.
20.2. Поверхности постоянной кривизны.
Мы займемся сейчас замечательным классом поверхностей, сыгравшим в истории
математики важную роль.
Определение. Поверхность M называется поверхностью постоянной кривиз-
ны, если ее гауссова кривизна постоянна: K = const .
Нашей целью является найти первые фундаментальные формы таких поверхно-
стей и тем самым дать их полную классификацию с точки зрения внутренней гео-
метрии. Имеет место
Теорема 26. Первая квадратичная форма всякой поверхности постоянной кривиз-
ны может быть приведена к одному из трех следующих канонических видов:
1. K = 0, dr
2
= du
2
+ dv
2
;
2. K =
1
a
2
> 0, dr
2
= du
2
+ cos
2
u
a
dv
2
;
3. K = −
1
a
2
< 0, dr
2
= du
2
+ ch
2
u
a
dv
2
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. С этой целью выберем на поверхности полугеодезические
координаты. Тогда ее первая квадратичная форма в соответствии с теоремой (25)
примет вид dr
2
= du
2
+ B
2
(u, v)dv
2
. Рассмотрим гауссову кривизну поверхности.
Так как система координат ортогональная, то она может быть вычислена по формуле
(48), лекц. 17
K = −
1
AB
n³
B
u
A
´
u
+
³
A
v
B
´
v
o
.
Так как A = 1 , то отсюда K = −
B
uu
B
. Таким образом, для нахождения функции
B(u, v) имеем дифференциальное уравнение второго порядка
B
uu
+ KB = 0,
где по условию K = const . По существу, это обыкновенное дифференциальное урав-
нение, поскольку координата v не участвует в дифференцировании и поэтому входит
сюда лишь как параметр. Как известно из теории дифференциальных уравнений, в
зависимости от знака коэффициента K его общее решение имеет вид
1) K = 0 , (параболический тип): B = c
1
(v) + c
2
(v)u ;
2) K =
1
a
2
> 0 , (эллиптический тип): B = c
1
(v) cos
u
a
+ c
2
(v) sin
u
a
;
3) K = −
1
a
2
< 0 , (гиперболический тип): B = c
1
(v) ch
u
a
+ c
2
(v) sh
u
a
.
Для определения функций c
1
(v), c
2
(v) надо принять во внимание начальные усло-
вия. При u = 0 имеем B(0, v) = c
1
(v) . Так как для базы параметр v натуральный,
то при u = 0 должно быть v = s . Но при этом условии dr
2
= B(0, v)ds
2
, а так как
dr
2
= ds
2
, то B(0, v) = ±1 и, следовательно, c
1
(v) = ±1 . Учтем, кроме того, что ба-
за β является геодезической и, значит, уравнения (64) должны удовлетворяться при
u = 0 . Это возможно при Γ
1
22
= 0 , откуда ∂
1
g
22
= 0 и поэтому ∂
u
B(u, v)|
u=0
= 0 .
43
являются полярные координаты. Здесь мы имеем пучок прямых (геодезических) и
их ортогональные траектории — окружности.
2) Используя предыдущий пример, легко построить полугеодезические координа-
ты на развертывающихся поверхностях. Полугедезическая сеть соответствует сети
прямоугольных или полярных координат при их наложении на плоскость.
3) Менее тривиальным примером служат географические координаты на сфере.
В самом деле, меридианы сферы образуют 1-параметрическое семейство ее больших
окружностей — геодезических, а параллели являются ортогональными траекториями
этого семейства. Базой этих координат является экватор.
20.2. Поверхности постоянной кривизны.
Мы займемся сейчас замечательным классом поверхностей, сыгравшим в истории
математики важную роль.
Определение. Поверхность M называется поверхностью постоянной кривиз-
ны, если ее гауссова кривизна постоянна: K = const .
Нашей целью является найти первые фундаментальные формы таких поверхно-
стей и тем самым дать их полную классификацию с точки зрения внутренней гео-
метрии. Имеет место
Теорема 26. Первая квадратичная форма всякой поверхности постоянной кривиз-
ны может быть приведена к одному из трех следующих канонических видов:
1. K = 0, dr2 = du2 + dv 2 ;
1
2. K = a2
> 0, dr2 = du2 + cos2 ua dv 2 ;
3. K = − a2 < 0, dr2 = du2 + ch2 ua dv 2 .
1
Д о к а з а т е л ь с т в о. С этой целью выберем на поверхности полугеодезические
координаты. Тогда ее первая квадратичная форма в соответствии с теоремой (25)
примет вид dr2 = du2 + B 2 (u, v)dv 2 . Рассмотрим гауссову кривизну поверхности.
Так как система координат ортогональная, то она может быть вычислена по формуле
(48), лекц. 17
1 n³ Bu ´ ³A ´ o
v
K=− + .
AB A u B v
Так как A = 1 , то отсюда K = − BBuu . Таким образом, для нахождения функции
B(u, v) имеем дифференциальное уравнение второго порядка
Buu + KB = 0,
где по условию K = const . По существу, это обыкновенное дифференциальное урав-
нение, поскольку координата v не участвует в дифференцировании и поэтому входит
сюда лишь как параметр. Как известно из теории дифференциальных уравнений, в
зависимости от знака коэффициента K его общее решение имеет вид
1) K = 0 , (параболический тип): B = c1 (v) + c2 (v)u ;
2) K = a12 > 0 , (эллиптический тип): B = c1 (v) cos ua + c2 (v) sin ua ;
3) K = − a12 < 0 , (гиперболический тип): B = c1 (v) ch ua + c2 (v) sh ua .
Для определения функций c1 (v), c2 (v) надо принять во внимание начальные усло-
вия. При u = 0 имеем B(0, v) = c1 (v) . Так как для базы параметр v натуральный,
то при u = 0 должно быть v = s . Но при этом условии dr2 = B(0, v)ds2 , а так как
dr2 = ds2 , то B(0, v) = ±1 и, следовательно, c1 (v) = ±1 . Учтем, кроме того, что ба-
за β является геодезической и, значит, уравнения (64) должны удовлетворяться при
u = 0 . Это возможно при Γ122 = 0 , откуда ∂1 g22 = 0 и поэтому ∂u B(u, v)|u=0 = 0 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
