Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 82 стр.

                                                                                41

  Из формулы (62) непосредственно вытекает, что геодезические пути на поверхно-
сти обладают следующими свойствами:
1) Вектор кривизны r̈ в каждой точке геодезического пути направлен по нормали к
поверхности. Действительно, из prT r̈ = 0 следует r̈ = λm ;
2) Соприкасающаяся плоскость геодезического пути в каждой его точке ортогональ-
на касательной плоскости поверхности — она проходит через вектор нормали m ;
3) Кривизна геодезического пути равна модулю его нормальной кривизны: k = |kn | .
В самом деле, проекция вектора кривизны на нормаль к поверхности является нор-
мальной кривизной kn всякого пути. Но |r̈| = k есть кривизна кривой. Следова-
тельно, между всеми этими кривизнами имеется простое соотношение kn2 + kg2 = k 2 ,
откуда и вытекает утверждение.
4) Всякая прямая на поверхности является геодезической, так как в этом случае
вектор кривизны r̈ = 0 .
  Пример. Рассмотрим плоские сечения сферы диаметральными плоскостями —
большие окружности. Как и для всякой плоской кривой, эти плоскости являются
соприкасающимися плоскостями сечений. А так как в каждой точке они содержат
нормаль сферы, то эти сечения являются ее геодезическими путями.