ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39
Поэтому условие его параллельности вдоль этого пути имеет вид
d
2
u
k
ds
2
+ Γ
k
ij
(u
s
(s))
du
i
ds
du
j
ds
= 0. (57)
Это система двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Так как в эти уравнения входят только символы Кристоффеля, которые выража-
ются через метрический тензор поверхности, мы получаем важный вывод: понятие
геодезического пути на поверхности относится к ее внутренней геометрии.
Дифференциальные уравнения геодезических (57), исключив параметр s , мож-
но свести к одному уравнению. Для этого будем искать уравнение геодезической в
приведенном виде v = v(u) . Тогда при ˙u 6= 0 , учитывая, что
ds
du
=
1
˙u
, имеем
dv
du
=
˙v
˙u
,
d
2
v
du
2
=
¨v ˙u − ˙v¨u
( ˙u)
3
.
Распишем уравнения геодезических подробнее, полагая u
1
= u, u
2
= v :
½
d
2
u
ds
2
+ Γ
1
11
(
du
ds
)
2
+ 2Γ
1
12
du
ds
dv
ds
+ Γ
1
22
(
dv
ds
)
2
= 0 ,
d
2
v
ds
2
+ Γ
2
11
(
du
ds
)
2
+ 2Γ
2
12
du
ds
dv
ds
+ Γ
2
22
(
dv
ds
)
2
= 0 .
Тогда после некоторых выкладок получим
d
2
v
du
2
= Γ
1
22
³
dv
du
´
3
+ (2Γ
1
12
− Γ
2
22
)
³
dv
du
´
2
+ (Γ
1
11
− 2Γ
2
12
)
dv
du
− Γ
2
11
. (58)
Кроме того, следует иметь ввиду, что мы отбросили случай ˙u = 0 , т. е решение
u = const .
Теорема 23. Через всякую точку регулярно параметризованной поверхности в
каждом заданном направлении проходит единственный геодезический путь.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме Коши о существовании и единствен-
ности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального
вида (58), при задании начальных условий v(u
0
) = c
1
,
dv
du
(u
0
) = c
2
существует един-
ственное решение v = v(u) , определенное в некоторой окрестности |u −c
1
| < ε . Это
и доказывает теорему. ¤ .
Следствие. Множество всех геодезических путей на поверхности зависит от
двух параметров.
Полезно заметить, что таким же свойством обладает и множество всех прямых на
плоскости.
Пример. Рассмотрим прямой круговой цилиндр r(ϕ, z) = ae(ϕ) + zk . Коэффи-
циенты его первой фундаментальной формы g
11
= a
2
, g
12
= 0, g
22
= 1 постоянны.
Поэтому все символы Кристоффеля в этих координатах равны нулю. Уравнение (58)
принимает вид
d
2
z
dϕ
2
= 0 с решением z = c
1
ϕ + c
2
. Подставив найденную функцию в
уравнение цилиндра, получим
r(ϕ) = ae(ϕ) + (c
1
ϕ + c
2
)k.
Это винтовые линии. Кроме того, геодезическими цилиндра являются прямолиней-
ные образующие ϕ = const .
Как мы, цилиндрические поверхности наложимы на плоскость и их внутренние
геометрии совпадают. При наложении прямого кругового цилиндра на плоскость по
формулам x = aϕ, z = z винтовым линиям соответствуют прямые с уравнениями
z(x) =
c
1
a
x + c
2
.
39
Поэтому условие его параллельности вдоль этого пути имеет вид
d2 uk k s dui duj
+ Γ ij (u (s)) = 0. (57)
ds2 ds ds
Это система двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Так как в эти уравнения входят только символы Кристоффеля, которые выража-
ются через метрический тензор поверхности, мы получаем важный вывод: понятие
геодезического пути на поверхности относится к ее внутренней геометрии.
Дифференциальные уравнения геодезических (57), исключив параметр s , мож-
но свести к одному уравнению. Для этого будем искать уравнение геодезической в
ds
приведенном виде v = v(u) . Тогда при u̇ 6= 0 , учитывая, что du = u̇1 , имеем
dv v̇ d2 v v̈ u̇ − v̇ü
= , = .
du u̇ du2 (u̇)3
Распишем уравнения геодезических подробнее, полагая u1 = u, u2 = v :
½ d2 u 1 du 2 1 du dv 1 dv 2
ds 2 + Γ11 ( ds ) + 2Γ12 ds ds + Γ22 ( ds ) = 0,
2
d v 2 du 2 2 du dv 2 dv 2
ds2
+ Γ11 ( ds ) + 2Γ12 ds ds + Γ22 ( ds ) = 0 .
Тогда после некоторых выкладок получим
d2 v ³ dv ´3 ³ dv ´2 dv
1 1 2
2
= Γ 22 + (2Γ 12 − Γ22 ) + (Γ111 − 2Γ212 ) − Γ211 . (58)
du du du du
Кроме того, следует иметь ввиду, что мы отбросили случай u̇ = 0 , т. е решение
u = const .
Теорема 23. Через всякую точку регулярно параметризованной поверхности в
каждом заданном направлении проходит единственный геодезический путь.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме Коши о существовании и единствен-
ности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального
dv
вида (58), при задании начальных условий v(u0 ) = c1 , du (u0 ) = c2 существует един-
ственное решение v = v(u) , определенное в некоторой окрестности |u − c1 | < ε . Это
и доказывает теорему. ¤ .
Следствие. Множество всех геодезических путей на поверхности зависит от
двух параметров.
Полезно заметить, что таким же свойством обладает и множество всех прямых на
плоскости.
Пример. Рассмотрим прямой круговой цилиндр r(ϕ, z) = ae(ϕ) + zk . Коэффи-
циенты его первой фундаментальной формы g11 = a2 , g12 = 0, g22 = 1 постоянны.
Поэтому все символы Кристоффеля в этих координатах равны нулю. Уравнение (58)
d2 z
принимает вид dϕ 2 = 0 с решением z = c1 ϕ + c2 . Подставив найденную функцию в
уравнение цилиндра, получим
r(ϕ) = ae(ϕ) + (c1 ϕ + c2 )k.
Это винтовые линии. Кроме того, геодезическими цилиндра являются прямолиней-
ные образующие ϕ = const .
Как мы, цилиндрические поверхности наложимы на плоскость и их внутренние
геометрии совпадают. При наложении прямого кругового цилиндра на плоскость по
формулам x = aϕ, z = z винтовым линиям соответствуют прямые с уравнениями
z(x) = ca1 x + c2 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
