Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

38
вдоль пути Γ :
∇a
dt
= 0 ,
∇b
dt
= 0 . Рассмотрим их скалярное произведение — функцию
f(t) = (a(t), b(t)) . Дифференцируя ее, получим
df
dt
=
d
dt
(a(t), b(t)) =
³
da
dt
, b(t)
´
+
³
a(t),
db
dt
´
.
Производные векторных полей разложим на касательную и нормальную составляю-
щие. Тогда
³
da
dt
, b(t)
´
=
³
pr
T
da
dt
+pr
N
da
dt
, b
´
=
³
pr
T
da
dt
, b
´
+
³
pr
N
da
dt
, b
´
=
³
pr
T
da
dt
, b
´
=
³
∇a
dt
, b(t)
´
и аналогично
³
a(t),
db
dt
´
=
³
a(t),
∇b
dt
´
.
В итоге имеем
d
dt
(a(t), b(t)) =
³
∇a
dt
, b
´
+
³
a,
∇b
dt
´
= 0.
Это доказывает теорему. ¤
Следствие. При параллельном перенесении сохраняется модуль вектора и угол
между векторами.
Пример. Рассмотрим геликоид r = ue(v) + vk и на нем винтовую линию Γ :
u = 1, v = t . В точке A(1, 0) этой линии при t = 0 зададим вектор a = (a
1
, a
2
)
и будем переносить его параллельно вдоль винтовой линии. Так как компоненты
метрического тензора геликоида равны g
11
= 1, g
12
= 0, g
22
= 1 + u
2
, то имеем сле-
дующие ненулевые символы Кристоффеля этой поверхности Γ
1
22
= −u , Γ
2
12
=
u
u
2
+1
.
Вдоль заданной винтовой линии Γ
1
22
= −1 , Γ
2
12
=
1
2
. Тогда система (56) принимает
вид
da
1
dt
− a
2
= 0
da
2
dt
+
1
2
a
1
= 0 ,
откуда
d
2
a
1
dt
2
+
1
2
a
1
= 0.
Поэтому имеем общее решение
a
1
(t) = c
1
cos
t
√
2
+ c
2
sin
t
√
2
, a
2
(t) =
1
√
2
³
−c
1
sin
t
√
2
+ c
2
cos
t
√
2
´
.
Учитывая начальное условие, получим следующие значения констант интегрирова-
ния: c
1
= a
1
, c
2
= a
2
.
19.2. Геодезические пути.
Прямые линии на плоскости обладают характерным для них свойством: их на-
правляющий вектор переносится вдоль них параллельно. Это свойство мы положим
в снову при определении следующих замечательных линий на поверхности:
Определение. Гладкий путь на поверхности называется геодезическим, если его
единичный касательный вектор параллелен вдоль этого пути.
Отнесем геодезический путь Γ к натуральному параметру. Тогда a
k
=
du
k
ds
—
координаты его единичного касательного векторного поля. В силу формулы (55)
ковариантная производная этого поля вдоль Γ равна
∇a
k
ds
=
da
k
ds
+ a
j
(s)Γ
k
ij
(u
m
(s))
du
i
ds
.
38

вдоль пути Γ : ∇a  dt
                       = 0 , ∇bdt
                                   = 0 . Рассмотрим их скалярное произведение — функцию
f (t) = (a(t), b(t)) . Дифференцируя ее, получим
                        df      d                  ³ da        ´ ³      db ´
                            = (a(t), b(t)) =             , b(t) + a(t),      .
                        dt      dt                    dt                dt
Производные векторных полей разложим на касательную и нормальную составляю-
щие. Тогда
³ da        ´ ³       da        da ´ ³            da ´ ³           da ´ ³      da ´ ³ ∇a       ´
      , b(t) = prT +prN , b = prT , b + prN , b = prT , b =                              , b(t)
   dt                 dt         dt               dt               dt          dt     dt
и аналогично                          ³       db ´ ³          ∇b ´
                                        a(t),      = a(t),          .
                                              dt                dt
В итоге имеем                                   ³ ∇a ´ ³ ∇b ´
                            d
                               (a(t), b(t)) =         , b + a,        = 0.
                           dt                     dt               dt
Это доказывает теорему. ¤
   Следствие. При параллельном перенесении сохраняется модуль вектора и угол
между векторами.
   Пример. Рассмотрим геликоид r = ue(v) + vk и на нем винтовую линию Γ :
u = 1, v = t . В точке A(1, 0) этой линии при t = 0 зададим вектор a = (a1 , a2 )
и будем переносить его параллельно вдоль винтовой линии. Так как компоненты
метрического тензора геликоида равны g11 = 1, g12 = 0, g22 = 1 + u2 , то имеем сле-
дующие ненулевые символы Кристоффеля этой поверхности Γ122 = −u , Γ212 = u2u+1 .
Вдоль заданной винтовой линии Γ122 = −1 , Γ212 = 12 . Тогда система (56) принимает
вид
                                   da1                da2 1 1
                                        − a2 = 0           + a = 0,
                                    dt                 dt     2
откуда
                                            d2 a1 1 1
                                                  + a = 0.
                                             dt2     2
Поэтому имеем общее решение
            1               t              t       2         1 ³        t         t ´
           a (t) = c1 cos √ + c2 sin √ , a (t) = √ −c1 sin √ + c2 cos √ .
                             2              2                 2          2         2
Учитывая начальное условие, получим следующие значения констант интегрирова-
ния: c1 = a1 , c2 = a2 .

     19.2. Геодезические пути.

  Прямые линии на плоскости обладают характерным для них свойством: их на-
правляющий вектор переносится вдоль них параллельно. Это свойство мы положим
в снову при определении следующих замечательных линий на поверхности:
  Определение. Гладкий путь на поверхности называется геодезическим, если его
единичный касательный вектор параллелен вдоль этого пути.
                                                                          k
  Отнесем геодезический путь Γ к натуральному параметру. Тогда ak = du  ds
                                                                            —
координаты его единичного касательного векторного поля. В силу формулы (55)
ковариантная производная этого поля вдоль Γ равна
                            ∇ak   dak                       dui
                                =     + aj (s)Γkij (um (s))     .
                            ds    ds                        ds

Страницы