Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 78 стр.

                                                                                  37

 Лекция 19. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПУТИ.

  19.1. Параллельное перенесение вектора по поверхности.

  Определим теперь параллельное перенесение на поверхности следующим образом.
Пусть Γ(t) — путь на поверхности M и ui = ui (t) — его внутренние уравнения.
Рассмотрим векторное поле a(t) в точках этого пути: a(t) = a(ui (t)) и расссмотрим
                                                                                 j
его ковариантную производную в направлении касательного вектора h : hj = du    dt
                                                                                   .
Учитывая определение ковариантной производной (53), получим
                    ∇a       da ³ dak                 dui j ´
                       = prT    =     + Γkij (us (t))    a (t) rk .            (55)
                    dt       dt    dt                 dt
                                                  ∇
  Определение. Дифференциальный оператор dt           называется ковариантной про-
изводной вдоль пути Γ .
  Определение. Векторное поле a называется параллельным вдоль заданного пу-
ти Γ , если его ковариантная производная вдоль этого пути равна нулю:
                      ∇ak    dak                 dui j
                          =      + Γkij (us (t))    a (t) = 0 .           (56)
                       dt     dt                 dt
  Установим некоторые свойства параллельного перенесения. Мы увидим, что оно
обладает важнейшими свойствами обычного перенесения в евклидовом пространстве.
Теорема 20. Пусть A и B — две точки поверхности, соединенные кусочно-гладким
путем Γ , и в точке A задан вектор a ∈ TA M . Тогда в точке B существует един-
ственный вектор b , параллельный данному.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть путь Γ(t) задан уравнениями uk = uk (t) и
Γ(0) = A , Γ(1) = B . Рассмотрим систему (56) обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка относительно неизвестных функций ak (t) . Мы имеем
начальное условие: в точке A задан вектор a(0) = a . Тогда согласно теореме Коши
существует единственное решение этой системы, продолжаемое до значения t = 1 .
Положив b = a(1) , получим доказательство теоремы. ¤
  Доказанное означает, что вдоль заданного пути определены отображения каса-
тельных пространств P (0, t) : TA M → TA(t) M для любого 0 ≤ t ≤ 1 , при котором
исходному вектору a сопоставляется вектор a(t) . При этом теорема справедлива и
для кусочно гладкого пути. В самом деле, если имеется особая точка, то получив в
ней вектор, параллельный данному, мы можем продолжить процесс параллельного
перенесения, приняв этот вектор в качестве начального.
Теорема 21. Параллельное перенесение P (Γ) : TA M → TB M является линейным
изоморфизмом касательных пространств вдоль заданного пути.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность отображения P (0, 1) следует из того, что
система (56) линейна и поэтому ее решение линейно зависит от начального векто-
ра. Более того, это отображение биективно, поскольку оно обратимо: параллельное
перенесение P (1, 0) вдоль пути Γ−1 (t) = Γ(1 − t) обратно рассмотренному. ¤
Теорема 22. (Риччи) Отображение касательных пространств при параллельном
перенесении является изометрией.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что это означает сохранение скалярного
произведения векторов. Пусть a(t) и b(t) — два векторных поля, параллельных