Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

35
(здесь u
1
= r, u
2
= θ ). Подсчитаем символы Кристоффеля этой метрики. Из част-
ных производных отлична от нуля лишь одна: ∂
1
g
22
= 2r . Компоненты обратной
матрицы равны g
11
= 1, g
12
= 0, g
22
=
1
r
2
. Поэтому отличны от нуля лишь
Γ
1
22
= −r, Γ
2
12
= Γ
2
21
=
1
r
18.2. Абсолютный дифференциал векторного поля.
Параллельное перенесение вектора в евклидовом пространстве имеет абсолютный
характер в том смысле, что оно не зависит от пути перенесения. Аналитически оно
определяется условием da = 0 . На поверхности такое перенесение невозможно. На-
шей целью является определить аналог такого перенесения. Для этого нам нужно
определить понятие дифференциала векторного поля.
В лекции 13 мы видели, что определение алгебраических операций с тензорны-
ми полями на поверхности непосредственно переносится из тензорной алгебры и
не встречает никаких затруднений. Иначе обстоит дело с их дифференцированием.
Пусть на поверхности задано векторное поле a = a
i
r
i
. Тогда его дифференциал da
уже не принадлежит, вообще говоря, касательной плоскости и, значит, не является
векторным полем на поверхности. В самом деле, мы имеем da = da
j
r
j
+ a
j
dr
j
. Но в
силу деривационных уравнений (30)
dr
j
= ∂
i
r
j
du
i
= (Γ
k
ij
r
k
+ h
ij
m)du
i
,
откуда
da = (da
k
+ Γ
k
ij
du
i
a
j
)r
k
+ h
ij
du
i
a
j
m.
Как видим, здесь кроме касательной присутствует также нормальная составляющая
дифференциала. Поэтому естественным является следующее обобщение этого поня-
тия
Определение. Абсолютным дифференциалом векторного поля на поверхности
называется оператор ∇, который всякому гладкому векторному полю a на по-
верхности ставит в соответствие векторное поле
∇a = pr
T
da . (51)
Здесь pr
T
означает ортогональную проекцию на касательную плоскость. Отсюда
вытекает, что в координатах
∇a = (da
k
+ Γ
k
ij
du
i
a
j
)r
k
. (52)
Теорема 19. Абсолютный дифференциал векторного поля есть линейный диффе-
ренциальный оператор: для любой пары гладких векторных полей a, b и гладкой
функции F на M :
1) ∇(λa + µb) = λ∇a + µ∇b , λ, µ ∈ R ;
2) ∇(F a) = f∇a + dF a .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Эти свойства вытекают непосредственно из аналогич-
ных свойств обычного дифференциала и свойств ортогональной проекции, которая
является линейным отображением:
∇(λa + µb) = pr
T
d(λa + µb) = λpr
T
d(a) + µpr
T
d(b) = λ∇a + µ∇b,
∇(F a) = pr
T
d(F a) = pr
T
(dF a + F da) = dF a + F pr
T
a = dF a + F ∇a. ¤
                                                                                    35

(здесь u1 = r, u2 = θ ). Подсчитаем символы Кристоффеля этой метрики. Из част-
ных производных отлична от нуля лишь одна: ∂1 g22 = 2r . Компоненты обратной
матрицы равны g 11 = 1, g 12 = 0, g 22 = r12 . Поэтому отличны от нуля лишь
                                                         1
                              Γ122 = −r, Γ212 = Γ221 =
                                                         r

  18.2. Абсолютный дифференциал векторного поля.

  Параллельное перенесение вектора в евклидовом пространстве имеет абсолютный
характер в том смысле, что оно не зависит от пути перенесения. Аналитически оно
определяется условием da = 0 . На поверхности такое перенесение невозможно. На-
шей целью является определить аналог такого перенесения. Для этого нам нужно
определить понятие дифференциала векторного поля.
  В лекции 13 мы видели, что определение алгебраических операций с тензорны-
ми полями на поверхности непосредственно переносится из тензорной алгебры и
не встречает никаких затруднений. Иначе обстоит дело с их дифференцированием.
Пусть на поверхности задано векторное поле a = ai ri . Тогда его дифференциал da
уже не принадлежит, вообще говоря, касательной плоскости и, значит, не является
векторным полем на поверхности. В самом деле, мы имеем da = daj rj + aj drj . Но в
силу деривационных уравнений (30)
                         drj = ∂i rj dui = (Γkij rk + hij m)dui ,
откуда
                       da = (dak + Γkij dui aj )rk + hij dui aj m.
Как видим, здесь кроме касательной присутствует также нормальная составляющая
дифференциала. Поэтому естественным является следующее обобщение этого поня-
тия
  Определение. Абсолютным дифференциалом векторного поля на поверхности
называется оператор ∇ , который всякому гладкому векторному полю a на по-
верхности ставит в соответствие векторное поле
                                     ∇a = prT da .                                (51)
Здесь prT означает ортогональную проекцию на касательную плоскость. Отсюда
вытекает, что в координатах
                              ∇a = (dak + Γkij dui aj )rk .                       (52)
Теорема 19. Абсолютный дифференциал векторного поля есть линейный диффе-
ренциальный оператор: для любой пары гладких векторных полей a, b и гладкой
функции F на M :
  1) ∇(λa + µb) = λ∇a + µ∇b , λ, µ ∈ R ;
  2) ∇(F a) = f ∇a + dF a .
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Эти свойства вытекают непосредственно из аналогич-
ных свойств обычного дифференциала и свойств ортогональной проекции, которая
является линейным отображением:
         ∇(λa + µb) = prT d(λa + µb) = λprT d(a) + µprT d(b) = λ∇a + µ∇b,
      ∇(F a) = prT d(F a) = prT (dF a + F da) = dF a + F prT a = dF a + F ∇a. ¤

Страницы