Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

33
2) Рассмотрим сферу радиуса a : r = a(cos θe(ϕ)+sin θk) . Ее первая квадратичная
форма найдена в п. 13.2, пр. 2, а компоненты метрического тензора в географических
координатах имеют вид g
11
= a
2
, g
12
= 0, g
22
= a
2
cos
2
θ. Поэтому A = a, B =
a cos θ и по формуле (48) получим K =
1
a
2
. Таким образом, сфера — это поверхность
постоянной положительной гауссовой кривизны.
3) Из поверхностей второго порядка эллипсоид (в частности, сфера), двуполостный
гиперболоид и эллиптический параболоид имеют положительную гауссову кривизну.
Поверхности отрицательной кривизны — 1-полостный гиперболоид, гиперболический
параболоид. Цилиндры и конус второго порядка являются развертывающимися по-
верхностями и потому, как уже было сказано, имеют нулевую гауссову кривизну..
4) Тор есть поверхность, образованная вращением окружности радиуса a , центр
которой удален от оси вращения на расстоянии b > a (п. 12.1, пр. 2). Его парамет-
рическое уравнение r(θ, ϕ) = (a cos θ + b)e(ϕ) + b sin θk . Найдем первую фундамен-
тальную форму. Имеем
r
1
= a(−sin θe(ϕ) + cos θk), r
2
= (a cos θ + b )g(ϕ),
откуда
g
11
= a
2
, g
22
= (a cos θ + b )
2
.
Так как координатная сеть ортогональна, то мы можем вычислить гауссову кри-
визну тора, используя формулу (48). Учитывая, что в рассматриваемом примере
A = a , B = a cos θ + b >0, получим
K =
cos θ
a(a cos θ + b)
.
Так как a cos θ+b > 0 , знак гауссовой кривизны зависит лишь от знака cos θ , откуда
следует, что она положительна при −
π
2
< θ <
π
2
, отрицательна при
π
2
< θ <
3π
2
и об-
ращается в нуль при ±
π
2
. Следовательно, на торе имеются точки всех трех типов: эл-
липтические — это его внешняя область, гиперболические, образующие внутреннюю
область и параболические, которые разделяют эти области двумя окружностями.
                                                                                    33

   2) Рассмотрим сферу радиуса a : r = a(cos θe(ϕ)+sin θk) . Ее первая квадратичная
форма найдена в п. 13.2, пр. 2, а компоненты метрического тензора в географических
координатах имеют вид g11 = a2 , g12 = 0, g22 = a2 cos2 θ. Поэтому A = a, B =
a cos θ и по формуле (48) получим K = a12 . Таким образом, сфера — это поверхность
постоянной положительной гауссовой кривизны.
   3) Из поверхностей второго порядка эллипсоид (в частности, сфера), двуполостный
гиперболоид и эллиптический параболоид имеют положительную гауссову кривизну.
Поверхности отрицательной кривизны — 1-полостный гиперболоид, гиперболический
параболоид. Цилиндры и конус второго порядка являются развертывающимися по-
верхностями и потому, как уже было сказано, имеют нулевую гауссову кривизну..
   4) Тор есть поверхность, образованная вращением окружности радиуса a , центр
которой удален от оси вращения на расстоянии b > a (п. 12.1, пр. 2). Его парамет-
рическое уравнение r(θ, ϕ) = (a cos θ + b)e(ϕ) + b sin θk . Найдем первую фундамен-
тальную форму. Имеем
                 r1 = a(− sin θe(ϕ) + cos θk),   r2 = (a cos θ + b)g(ϕ),
откуда
                              g11 = a2 , g22 = (a cos θ + b)2 .
Так как координатная сеть ортогональна, то мы можем вычислить гауссову кри-
визну тора, используя формулу (48). Учитывая, что в рассматриваемом примере
A = a , B = a cos θ + b >0, получим
                                             cos θ
                                   K=                   .
                                         a(a cos θ + b)
Так как a cos θ +b > 0 , знак гауссовой кривизны зависит лишь от знака cos θ , откуда
следует, что она положительна при − π2 < θ < π2 , отрицательна при π2 < θ < 3π2
                                                                                 и об-
ращается в нуль при ± π2 . Следовательно, на торе имеются точки всех трех типов: эл-
липтические — это его внешняя область, гиперболические, образующие внутреннюю
область и параболические, которые разделяют эти области двумя окружностями.

Страницы