Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

31
Лекция 17. ЛОКАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
17.1. Теорема Эйлера.
Теорема Эйлера устанавливает зависимость нормальной кривизны поверхности от
главных кривизн. Ориентируем поверхность так, чтобы тройка векторов {e
1
, e
2
, m}
имела правую ориентацию.
Теорема 17. (Эйлера) Нормальная кривизна в произвольном направлении выража-
ется через главные кривизны и угол, который это направление образует с первым
главным направлением, по формуле
k
n
(e) = k
1
cos
2
ϕ + k
2
sin
2
ϕ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В заданной точке регулярной поверхности рассмот-
рим ортонормированный репер {e
1
, e
2
}, где e
i
— орты главных направлений. Тогда
орт любого направления можно задать вектором e = cos ϕe
1
+ sin ϕe
2
, образующим
угол ϕ с первым главным направлением. Рассмотрим нормальную кривизну в этом
направлении: k
n
(e) = h(e, e) . Учитывая разложение вектора e по ортам главных
направлений, билинейность второй фундаментальной формы и ее симметрию, полу-
чим
k
n
(e) = h(e
1
, e
1
) cos
2
ϕ + 2h(e
1
, e
2
) cos ϕ sin ϕ + h(e
2
, e
2
) sin
2
ϕ.
Здесь по определению второй фундаментальной формы и главных направлений
h(e
1
, e
1
) = (W e
1
, e
1
) = k
1
e
2
1
= k
1
,
h(e
2
, e
2
) = (W e
2
, e
2
) = k
2
e
2
2
= k
2
,
h(e
1
, e
2
) = (W e
1
, e
2
) = k
2
(e
1
, e
2
) = 0,
откуда и следует формула Эйлера. ¤
Следствие. Главные кривизны поверхности суть значения нормальной кривизны
в главных направлениях.
Действительно, из формулы Эйлера главные кривизны получаются при значениях
угла ϕ = 0 и ϕ =
π
2
, соответствующих первому и второму главным направлениям.
17.2. Строение поверхности в окрестности данной точки.
Формула Эйлера позволит нам разобраться в том, как устроена поверхность ло-
кально, в окрестности данной точки. Для этого рассмотрим пучок плоскостей Π(ϕ) ,
осью которого является нормаль поверхности. Здесь, как и выше, ϕ — ориенти-
рованный угол, который эта плоскость образует с первым главным направлением.
Плоскости этого пучка определяют нормальные сечения поверхности, для которых
эти плоскости являются соприкасающимися. Рассмотрим вектор кривизны этих се-
чений и напомним, что он всегда направлен в сторону вогнутости сечения. В любом
случае
¨
r = εkm , где ε = +1 , если по отношению к нормали сечение вогнутое и
ε = −1 , если оно выпуклое. Обратимся теперь к формуле Эйлера и рассмотрим
различные случаи.
1) Пусть гауссова кривизна поверхности в данной точке K > 0 . Так как K = k
1
k
2
,
то в этом случае главные кривизны имеют одинаковый знак. Пусть для определен-
ности k
1
=
1
a
2
> 0 и k
2
=
1
b
2
> 0 (случай, когда они обе отрицательны, приводит к
аналогичному результату). Тогда формула Эйлера примет вид
k
n
(e) =
cos
2
ϕ
a
2
+
sin
2
ϕ
b
2
.
                                                                                     31

            Лекция 17. ЛОКАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ

  17.1. Теорема Эйлера.

  Теорема Эйлера устанавливает зависимость нормальной кривизны поверхности от
главных кривизн. Ориентируем поверхность так, чтобы тройка векторов {e1 , e2 , m}
имела правую ориентацию.
Теорема 17. (Эйлера) Нормальная кривизна в произвольном направлении выража-
ется через главные кривизны и угол, который это направление образует с первым
главным направлением, по формуле
                             kn (e) = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. В заданной точке регулярной поверхности рассмот-
рим ортонормированный репер {e1 , e2 } , где ei — орты главных направлений. Тогда
орт любого направления можно задать вектором e = cos ϕe1 + sin ϕe2 , образующим
угол ϕ с первым главным направлением. Рассмотрим нормальную кривизну в этом
направлении: kn (e) = h(e, e) . Учитывая разложение вектора e по ортам главных
направлений, билинейность второй фундаментальной формы и ее симметрию, полу-
чим
           kn (e) = h(e1 , e1 ) cos2 ϕ + 2h(e1 , e2 ) cos ϕ sin ϕ + h(e2 , e2 ) sin2 ϕ.
Здесь по определению второй фундаментальной формы и главных направлений
                          h(e1 , e1 ) = (W e1 , e1 ) = k1 e21 = k1 ,
                          h(e2 , e2 ) = (W e2 , e2 ) = k2 e22 = k2 ,
                        h(e1 , e2 ) = (W e1 , e2 ) = k2 (e1 , e2 ) = 0,
откуда и следует формула Эйлера. ¤
  Следствие. Главные кривизны поверхности суть значения нормальной кривизны
в главных направлениях.
  Действительно, из формулы Эйлера главные кривизны получаются при значениях
угла ϕ = 0 и ϕ = π2 , соответствующих первому и второму главным направлениям.

  17.2. Строение поверхности в окрестности данной точки.

  Формула Эйлера позволит нам разобраться в том, как устроена поверхность ло-
кально, в окрестности данной точки. Для этого рассмотрим пучок плоскостей Π(ϕ) ,
осью которого является нормаль поверхности. Здесь, как и выше, ϕ — ориенти-
рованный угол, который эта плоскость образует с первым главным направлением.
Плоскости этого пучка определяют нормальные сечения поверхности, для которых
эти плоскости являются соприкасающимися. Рассмотрим вектор кривизны этих се-
чений и напомним, что он всегда направлен в сторону вогнутости сечения. В любом
случае r̈ = εkm , где ε = +1 , если по отношению к нормали сечение вогнутое и
ε = −1 , если оно выпуклое. Обратимся теперь к формуле Эйлера и рассмотрим
различные случаи.
  1) Пусть гауссова кривизна поверхности в данной точке K > 0 . Так как K = k1 k2 ,
то в этом случае главные кривизны имеют одинаковый знак. Пусть для определен-
ности k1 = a12 > 0 и k2 = b12 > 0 (случай, когда они обе отрицательны, приводит к
аналогичному результату). Тогда формула Эйлера примет вид
                                          cos2 ϕ sin2 ϕ
                               kn (e) =         +       .
                                            a2     b2

Страницы