Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

32
Таким образом, в любом направлении k
n
(e) > 0 . Асимптотических направлений нет.
Такая точка называется точкой эллиптического типа. Так как в этом случае k
n
=
(m,
¨
r) = εkm
2
> 0 , то ε = 1 и, значит, все нормальные сечения вогнуты в сторону
нормали. Это говорит о том, что в окрестности эллиптической точки поверхность
имеет чашеобразное строение.
2) Пусть в рассматриваемой точке K < 0 . Главные кривизны имеют разный знак.
Положив для определенности k
1
=
1
a
2
> 0 , k
2
= −
1
b
2
< 0 , получим
k
n
(e) =
cos
2
ϕ
a
2
−
sin
2
ϕ
b
2
.
Значит, нормальная кривизна может иметь разный знак и обращается в нуль при
двух значениях угла: tg ϕ = ±
b
a
. Следовательно, имеется два различных асимпто-
тических направления. Эти два направления разбивают все нормальные сечения на
выпуклые и вогнутые по отношению к выбранному направлению нормали. Значит,
в окрестности данной точки поверхность имеет седлообразное строение. Это точка
гиперболического типа.
3) Рассмотрим случай, когда K = k
1
k
2
= 0 . Пусть только одна из главных кри-
визн обращается в нуль, например k
2
= 0 . Положим k
1
=
1
a
2
. Тогда по формуле
Эйлера k
n
(e) =
cos
2
ϕ
a
2
≥ 0 . Мы имеем лишь одно асимптотическое направление при
ϕ =
π
2
. Одновременно оно является и главным. Все нормальные сечения вогнуты в
сторону нормали, кроме одного — асимптотического. Говорят, что точка имеет пара-
болический тип.
4) Если обе главные кривизны равны нулю, то k
n
(e) ≡ 0 . Каждое направление
в данной точке является асимптотическим и главным одновременно. Такая точка
называется точкой уплощения. Из таких точек состоит плоскость.
17.3. Теорема Гаусса.
Особо важное значение в теории поверхностей имеет гауссова кривизна в силу
следующей теоремы, которую мы приведем без доказательства.
Теорема 18. (Гаусса) Гауссова кривизна поверхности может быть выражена через
коэффициенты только первой фундаментальной формы и их частные производные
первого и второго порядкa:
K = K(g
ij
, ∂
k
g
ij
, ∂
km
g
ij
).
Таким образом, гауссова кривизна принадлежит внутренней геометрии поверхно-
сти. Аналитически это выражение довольно сложное и мы приведем его лишь для
случая, когда координатная сеть на поверхности ортогональная и, следовательно,
g
12
= 0 . Положив g
11
= A
2
, g
22
= B
2
, имеем
K = −
1
AB
n³
B
u
A
´
u
+
³
A
v
B
´
v
o
. (48)
Следствие. Если поверхности изометричны, то они имеют (в соответствую-
щих координатах) одну и ту же гауссову кривизну.
Примеры.
1) Для плоскости m = const и поэтому оператор Вейнгартена W = 0 . Следова-
тельно, ее гауссова кривизна K = 0 . Такую же кривизну, как мы видели, имеют
все развертывающиеся поверхности. Позже будет доказано, что они изометричны
плоскости (или ее части).
32

Таким образом, в любом направлении kn (e) > 0 . Асимптотических направлений нет.
Такая точка называется точкой эллиптического типа. Так как в этом случае kn =
(m, r̈) = εkm2 > 0 , то ε = 1 и, значит, все нормальные сечения вогнуты в сторону
нормали. Это говорит о том, что в окрестности эллиптической точки поверхность
имеет чашеобразное строение.
  2) Пусть в рассматриваемой точке K < 0 . Главные кривизны имеют разный знак.
Положив для определенности k1 = a12 > 0 , k2 = − b12 < 0 , получим
                                       cos2 ϕ sin2 ϕ
                             kn (e) =        −       .
                                         a2     b2
Значит, нормальная кривизна может иметь разный знак и обращается в нуль при
двух значениях угла: tg ϕ = ± ab . Следовательно, имеется два различных асимпто-
тических направления. Эти два направления разбивают все нормальные сечения на
выпуклые и вогнутые по отношению к выбранному направлению нормали. Значит,
в окрестности данной точки поверхность имеет седлообразное строение. Это точка
гиперболического типа.
  3) Рассмотрим случай, когда K = k1 k2 = 0 . Пусть только одна из главных кри-
визн обращается в нуль, например k2 = 0 . Положим k1 = a12 . Тогда по формуле
                    2
Эйлера kn (e) = cosa2 ϕ ≥ 0 . Мы имеем лишь одно асимптотическое направление при
ϕ = π2 . Одновременно оно является и главным. Все нормальные сечения вогнуты в
сторону нормали, кроме одного — асимптотического. Говорят, что точка имеет пара-
болический тип.
  4) Если обе главные кривизны равны нулю, то kn (e) ≡ 0 . Каждое направление
в данной точке является асимптотическим и главным одновременно. Такая точка
называется точкой уплощения. Из таких точек состоит плоскость.

     17.3. Теорема Гаусса.

  Особо важное значение в теории поверхностей имеет гауссова кривизна в силу
следующей теоремы, которую мы приведем без доказательства.
Теорема 18. (Гаусса) Гауссова кривизна поверхности может быть выражена через
коэффициенты только первой фундаментальной формы и их частные производные
первого и второго порядкa:
                             K = K(gij , ∂k gij , ∂km gij ).
  Таким образом, гауссова кривизна принадлежит внутренней геометрии поверхно-
сти. Аналитически это выражение довольно сложное и мы приведем его лишь для
случая, когда координатная сеть на поверхности ортогональная и, следовательно,
g12 = 0 . Положив g11 = A2 , g22 = B 2 , имеем
                                    1 n³ Bu ´    ³A ´ o
                                                   v
                            K=−                +        .                 (48)
                                   AB      A u    B v
  Следствие. Если поверхности изометричны, то они имеют (в соответствую-
щих координатах) одну и ту же гауссову кривизну.
  Примеры.
  1) Для плоскости m = const и поэтому оператор Вейнгартена W = 0 . Следова-
тельно, ее гауссова кривизна K = 0 . Такую же кривизну, как мы видели, имеют
все развертывающиеся поверхности. Позже будет доказано, что они изометричны
плоскости (или ее части).

Страницы