Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 75 стр.

34

       Лекция 18. АБСОЛЮТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ И КОВАРИАНТНЫЕ
                          ПРОИЗВОДНЫЕ.

     18.1. Символы Кристоффеля.

  Рассмотрим теперь деривационные уравнения (30) (лекц. 15) и займемся нахожде-
нием коэффициентов Γkij . Умножим эти уравнения скалярно на векторы натураль-
ного репера rk . Учтем их ортогональность вектору нормали и то, что (rs , rk ) = gsk
— компоненты первой фундаментальной формы. Тогда получим
                                    (rk , ∂i rj ) = Γsij gsk .
Приведем эти уравнения к несколько другому виду. Если продифференцировать ска-
лярные произведения (rk , rj ) = gkj с помощью оператора частного дифференциро-
вания ∂i = ∂u∂ i , получим
                             (∂i rk , rj ) + (rk , ∂i rj ) = ∂i gkj .
Таким образом,
                                Γsik gsj + Γsij gsk = ∂i gkj .                    (49)
Покажем, что эта линейная система имеет единственное решение и найдем его. Де-
лается это так. Перепишем уравнения (49) еще дважды, сделав циклическую пере-
становку нижних индексов: ijk → jki → kij . В результате получим
                                Γsji gsk + Γsjk gsi = ∂j gik ,

                                Γskj gsi + Γski gsj = ∂k gji .
Сложим все эти три соотношения со знаками + − + . С учетом симметрии коэффи-
циентов gij и Γsij по нижним индексам, придем к уравнениям
                            2Γsik gsj = ∂i gkj + ∂k gji − ∂j gik .
Осталось сделать последний шаг, выразив отсюда коэффициенты Γsik . Заметим, что
в этих уравнениях идет суммирование по повторяющемуся индексу s = 1, 2 . Рас-
смотрим матрицу (g ij ) , обратную к матрице (gij ) . Их компоненты связаны соот-
ношением gsj g jm = δsm . Если поэтому свернуть полученные уравнения с g jm , то
получим следующий результат
                                    1 mk
                             Γmij = g    (∂i gjk + ∂j gik − ∂k gij ).             (50)
                                    2
Эти коэффициенты называются символами Кристоффеля. Как видим, они выража-
ются только через коэффициенты первой квадратичной формы и их частные произ-
водные первого порядка.
  Примеры.
  1) Первая квадратичная форма плоскости в произвольных декартовых координа-
тах {0, e1 , e2 } имеет постоянные коэффициенты gij = (ei , ej ) = const . Поэтому все
символы Кристоффеля Γm      ij = 0 .
  2) Точки той же плоскости, отнесенной к полярным координатам, имеют радиус-
вектор r = re(θ) . Тогда dr = dre(θ) + rg(θ)dθ . Следовательно ее первая квадратич-
ная форма имеет вид dr2 = dr2 + r2 dθ2 с коэффициентами g11 = 1, g12 = 0, g22 = r2 ,