Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

36
18.3. Ковариантные производные.
Если на поверхности задано векторное поле h(u
i
) , то дифференциалы функций в
формуле (52) можно вычислить в направлении этого поля. Учитывая, что da
k
(h) =
h
i
∂
i
a
k
и du
i
(h) = h
i
, получим векторное поле
∇
h
a = h
i
(∂
i
a
k
+ Γ
k
ij
a
j
)r
k
(53)
с координатами
∇
h
a
k
= h
i
(∂
i
a
k
+ Γ
k
ij
a
j
) := h
i
∇
i
a
k
. (54)
Определение. Дифференциальный оператор ∇
h
называется ковариантной про-
изводной в направлении векторного поля h.
Свойства абсолютного дифференциала, приведенные в теореме (19), справедли-
вы и для ковариантных производных. Заметим также, что оператор (54) линейно
зависит от h :
∇
fh
1
+gh
2
a = f∇
h
1
a + g∇
h
2
a.
В частности, ковариантные производные в направлении векторов натурального ре-
пера r
i
= (δ
k
i
) , т. е. в направлении координатных линий, сводятся к выражениям
∇
i
a
k
= ∂
i
a
k
+ Γ
k
ij
a
j
),
которые являются аналогами частных производных.
36

     18.3. Ковариантные производные.
   Если на поверхности задано векторное поле h(ui ) , то дифференциалы функций в
формуле (52) можно вычислить в направлении этого поля. Учитывая, что dak (h) =
hi ∂i ak и dui (h) = hi , получим векторное поле
                             ∇h a = hi (∂i ak + Γkij aj )rk                    (53)
с координатами
                              ∇h ak = hi (∂i ak + Γkij aj ) := hi ∇i ak .      (54)
  Определение. Дифференциальный оператор ∇h называется ковариантной про-
изводной в направлении векторного поля h.
  Свойства абсолютного дифференциала, приведенные в теореме (19), справедли-
вы и для ковариантных производных. Заметим также, что оператор (54) линейно
зависит от h :
                                ∇f h1 +gh2 a = f ∇h1 a + g∇h2 a.
В частности, ковариантные производные в направлении векторов натурального ре-
пера ri = (δik ) , т. е. в направлении координатных линий, сводятся к выражениям
                               ∇i ak = ∂i ak + Γkij aj ),
которые являются аналогами частных производных.

Страницы