Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

30
Поскольку эта система должна иметь ненулевое решение, имеем
¯
¯
¯
¯
h
11
− λg
11
h
12
− λg
12
h
12
− λg
12
h
22
− λg
22
¯
¯
¯
¯
= 0. (46)
Мы снова получили характеристическое уравнение для нахождения главных кри-
визн. После раскрытия определителя и приведения полученного квадратного урав-
нения к каноническому виду (43) найдем
K =
h
g
, 2H =
g
22
h
11
− 2g
12
h
12
+ g
11
h
22
g
. (47)
Обратим внимание на то, что так как g = det(g
ij
) > 0 , знак определителя h =
det(h
ij
) второй фундаментальной формы совпадает со знаком гауссовой кривизны.
Выражение для средней кривизны можно записать более компактно, если учесть,
что матрица, обратная к матрице 1-й фундаментальной формы имеет вид
(
g
ij
) =
1
g
µ
g
22
−g
12
−g
12
g
11
.
Следовательно,
2H = g
ij
h
ij
.
Поверхности, для которых средняя кривизна равна нулю, называются минималь-
ными. Такое название они получили потому, что из всех поверхностей, натянутых
на данный замкнутый контур Γ в пространстве, минимальные поверхности имеют
наименьшую площадь. Другими словами, функционал площади
σ =
Z
Q
√
g dudv , g = det(g
ij
),
где Q — область, ограниченная контуром Γ , для минимальной поверхности достига-
ет своего минимального значения. Такие поверхности вследствие сил поверхностного
натяжения реализуются, например, в виде мыльных пленок.
Примеры.
1) Покажем, что всякая развертывающаяся поверхность имеет нулевую гауссову
кривизну. Действительно, всякая развертывающаяся поверхность имеет уравнение
R = r(t) + va(t) , где — орт a прямолинейных образующих должен удовлетворять
условию (r
0
, a, a
0
) = 0 (лекц. 12, теор. 9). В силу формулы (47) нам достаточно
показать, что дискриминант второй билинейной формы h = h
11
h
22
−h
2
12
= 0 . Имеем
R
t
= r
0
+ va
0
, R
v
= a, R
tt
= r
00
+ va
00
, R
tv
= a
0
, R
vv
= 0 .
Единичный вектор нормали равен m =
1
|N|
([r
0
, a]+v[a
0
, a]) . Отсюда h
22
= 0 и поэтому
h = −h
2
12
. Следовательно, нужно подсчитать только коэффициент h
12
. Имеем h
12
=
1
|N|
(r
0
, a, a
0
) = 0 . Поэтому h = 0 и, следовательно, K = 0 .
2) Для рассмотренного в п. 16.3, пр. 2 геликоида средняя кривизна 2H = k
1
+
k
2
= 0 , гауссова кривизна K = k
1
k
2
= −
a
2
(u
2
+a
2
)
2
. Таким образом, это минимальная
поверхность отрицательной гауссовой кривизны.
30

Поскольку эта система должна иметь ненулевое решение, имеем
                         ¯                       ¯
                         ¯ h11 − λg11 h12 − λg12 ¯
                         ¯                       ¯
                         ¯ h12 − λg12 h22 − λg22 ¯ = 0.                                (46)

Мы снова получили характеристическое уравнение для нахождения главных кри-
визн. После раскрытия определителя и приведения полученного квадратного урав-
нения к каноническому виду (43) найдем
                          h           g22 h11 − 2g12 h12 + g11 h22
                     K = , 2H =                                    .       (47)
                          g                        g
Обратим внимание на то, что так как g = det(gij ) > 0 , знак определителя h =
det(hij ) второй фундаментальной формы совпадает со знаком гауссовой кривизны.
  Выражение для средней кривизны можно записать более компактно, если учесть,
что матрица, обратная к матрице 1-й фундаментальной формы имеет вид
                                      µ                ¶
                              ij   1       g22 −g12
                            (g ) =                        .
                                   g −g12 g11
Следовательно,
                                   2H = g ij hij .
Поверхности, для которых средняя кривизна равна нулю, называются минималь-
ными. Такое название они получили потому, что из всех поверхностей, натянутых
на данный замкнутый контур Γ в пространстве, минимальные поверхности имеют
наименьшую площадь. Другими словами, функционал площади
                              Z
                                 √
                          σ=       g dudv , g = det(gij ),
                                  Q
где Q — область, ограниченная контуром Γ , для минимальной поверхности достига-
ет своего минимального значения. Такие поверхности вследствие сил поверхностного
натяжения реализуются, например, в виде мыльных пленок.
  Примеры.
  1) Покажем, что всякая развертывающаяся поверхность имеет нулевую гауссову
кривизну. Действительно, всякая развертывающаяся поверхность имеет уравнение
R = r(t) + va(t) , где — орт a прямолинейных образующих должен удовлетворять
условию (r0 , a, a0 ) = 0 (лекц. 12, теор. 9). В силу формулы (47) нам достаточно
показать, что дискриминант второй билинейной формы h = h11 h22 − h212 = 0 . Имеем
           Rt = r0 + va0 ,   Rv = a,   Rtt = r00 + va00 ,     Rtv = a0 ,   Rvv = 0 .
                                           1
Единичный вектор нормали равен m =        |N|
                                              ([r0 , a]+v[a0 , a]) .
                                                                   Отсюда h22 = 0 и поэтому
           2
h = −h12 . Следовательно, нужно подсчитать только коэффициент h12 . Имеем h12 =
 1
|N|
    (r0 , a, a0 ) = 0 . Поэтому h = 0 и, следовательно, K = 0 .
   2) Для рассмотренного в п. 16.3, пр. 2 геликоида средняя кривизна 2H = k1 +
                                                  a2
k2 = 0 , гауссова кривизна K = k1 k2 = − (u2 +a      2 )2 . Таким образом, это минимальная

поверхность отрицательной гауссовой кривизны.

Страницы