Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

28
между величинами k
n
и k , рассмотрим два сечения — одно из них нормальное, а
другое наклонное к нему под некоторым углом. Тогда справедлива
Теорема 16. (Менье) Ортогональная проекция центра кривизны нормального се-
чения поверхности на плоскость наклонного сечения с той же касательной есть
центр кривизны этого наклонного сечения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через θ угол между нормальным и на-
клонным сечениями. Это угол между их главными нормалями, т. е. между век-
торами m и n . Значит, cos θ = (m, n) . По определению нормальной кривизны
k
n
= (m, ¨r) = k(s)(m, n) = k(s) cos θ . Итак, связь между кривизной и нормальной
кривизной аналитически определяется формулой
k
n
= k(s) cos θ. (40)
Переписав ее в терминах радиусов кривизны, получим R = R
n
cos θ , откуда и следует
утверждение теоремы. ¤
Эта теорема имеет простой геометрический смысл.
Следствие. Центры кривизны пучка плоских сечений поверхности с общей каса-
тельной расположены на окружности в их общей нормальной плоскости, которая
своим диаметром имеет отрезок между точкой поверхности и центром кривизны
нормального сечения. Следовательно, длина этого диаметра равна |R
n
|.
16.3. Главные направления и главные кривизны поверхности.
В лекции 15 был определен оператор Вейнгартена (36) — линейный оператор, дей-
ствующий в касательных плоскостях поверхности.
Определение. Главными направлениями поверхности в данной точке называ-
ются главные направления оператора Вейнгартена.
Как известно, главные направления любого линейного оператора задаются его соб-
ственными векторами, которые определяются условием
W p = λp (41)
или в координатах W
i
k
p
k
= λp
i
. Следовательно, для нахождения координат собствен-
ных векторов мы имеем систему линейных однородных уравнений
(W
i
k
− λδ
i
k
)p
k
= 0, (42)
где δ
i
k
— символы Кронекера. Эта система имеет ненулевое решение лишь тогда,
когда ее определитель нулевой, т. е. при условии
¯
¯
¯
¯
W
1
1
− λ W
1
2
W
2
1
W
2
2
− λ
¯
¯
¯
¯
= 0.
Мы получили характеристическое уравнение для нахождения собственных значений
оператора W , при которых существует ненулевое решение p = (p
1
, p
2
) однородной
системы (42). Раскрывая определитель, запишем характеристическое уравнение в
виде
λ
2
− 2Hλ + K = 0. (43)
Пусть λ = k
1
и λ = k
2
корни этого уравнения. Они называются главными кривиз-
нами поверхности. Важно отметить, что так как оператор Вейнгартена самосопря-
женный, главные кривизны а значит и отвечающие им собственные векторы всегда
вещественны. Каждой из главных кривизн соответствует по крайней мере один соб-
ственный вектор p оператора W — решение системы (42).
28

между величинами kn и k , рассмотрим два сечения — одно из них нормальное, а
другое наклонное к нему под некоторым углом. Тогда справедлива
Теорема 16. (Менье) Ортогональная проекция центра кривизны нормального се-
чения поверхности на плоскость наклонного сечения с той же касательной есть
центр кривизны этого наклонного сечения.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через θ угол между нормальным и на-
клонным сечениями. Это угол между их главными нормалями, т. е. между век-
торами m и n . Значит, cos θ = (m, n) . По определению нормальной кривизны
kn = (m, r̈) = k(s)(m, n) = k(s) cos θ . Итак, связь между кривизной и нормальной
кривизной аналитически определяется формулой
                                  kn = k(s) cos θ.                            (40)
Переписав ее в терминах радиусов кривизны, получим R = Rn cos θ , откуда и следует
утверждение теоремы. ¤
  Эта теорема имеет простой геометрический смысл.
  Следствие. Центры кривизны пучка плоских сечений поверхности с общей каса-
тельной расположены на окружности в их общей нормальной плоскости, которая
своим диаметром имеет отрезок между точкой поверхности и центром кривизны
нормального сечения. Следовательно, длина этого диаметра равна |Rn | .

     16.3. Главные направления и главные кривизны поверхности.

  В лекции 15 был определен оператор Вейнгартена (36) — линейный оператор, дей-
ствующий в касательных плоскостях поверхности.
  Определение. Главными направлениями поверхности в данной точке называ-
ются главные направления оператора Вейнгартена.
  Как известно, главные направления любого линейного оператора задаются его соб-
ственными векторами, которые определяются условием
                                    W p = λp                                  (41)
или в координатах Wki pk = λpi . Следовательно, для нахождения координат собствен-
ных векторов мы имеем систему линейных однородных уравнений
                                (Wki − λδki )pk = 0,                          (42)
где δki — символы Кронекера. Эта система имеет ненулевое решение лишь тогда,
когда ее определитель нулевой, т. е. при условии
                            ¯ 1                  ¯
                            ¯ W1 − λ       W 1   ¯
                            ¯                2   ¯ = 0.
                            ¯ W12        W2 − λ ¯
                                           2

Мы получили характеристическое уравнение для нахождения собственных значений
оператора W , при которых существует ненулевое решение p = (p1 , p2 ) однородной
системы (42). Раскрывая определитель, запишем характеристическое уравнение в
виде
                              λ2 − 2Hλ + K = 0.                              (43)
Пусть λ = k1 и λ = k2 корни этого уравнения. Они называются главными кривиз-
нами поверхности. Важно отметить, что так как оператор Вейнгартена самосопря-
женный, главные кривизны а значит и отвечающие им собственные векторы всегда
вещественны. Каждой из главных кривизн соответствует по крайней мере один соб-
ственный вектор p оператора W — решение системы (42).

Страницы