Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26
Д о к а з а т е л ь с т в о. Это его свойство является непосредственным следствием
симметрии первой и второй фундаментальных форм. Действительно, из (35) при
любом выборе касательных векторов имеем
(W a, b) = h(a, b) = h(b, a) = (W b, a) = (a, W b). ¤
Выясним, как он действует на векторы касательной плоскости. Для этого вторую
билинейную форму (32), используя выражения (31) для ее коэффициетов, запишем
в виде
h(a, b) = (W a, b) = −(a
i
∂
i
m, b) = −(dm(a), b).
Отсюда, учитывая произвольность в выборе вектора b , получим
W a = −dm(a) = −a
i
∂
i
m. (36)
Это, взятая с противоположным знаком, производная единичного вектора нормали
в направлении вектора a ∈ T
A
M . Итак, оператор Вейнгартена преобразует всякий
вектор a ∈ T
A
M в вектор −dm(a) ∈ T
A
M , который в силу условия |m| = 1 , снова
принадлежит касательной плоскости.
Что касается трехиндексных коэффициентов уравнений (a) , то мы отложим их
рассмотрение до лекции 18.
Примеры.
1) Для сферы радиуса R m =
r
R
, а его дифференциал равен dm =
dr
R
. Следо-
вательно, для всякого вектора a касательной плоскости W a = −
dr(a)
R
, а так как
dr(a) = a
i
r
i
= a , то W a = −
a
R
. Это гомотетия второго рода.
2) Рассмотрим геликоид r = ue(v) + avk , a = const . Его единичный вектор нор-
мали мы уже нашли в п. 15.2, пр.2: m =
uk−ag
√
u
2
+a
2
. Вычислим его производные
∂
1
m =
aug(v) + a
2
k
(u
2
+ a
2
)
3/2
=
ar
2
(u
2
+ a
2
)
3/2
, ∂
2
m =
ae(v)
(u
2
+ a
2
)
1/2
=
ar
1
(u
2
+ a
2
)
1/2
.
Тогда из деривационных уравнений следует, что
W =
Ã
0 −
a
(u
2
+a
2
)
3/2
−
a
(u
2
+a
2
)
1/2
0
!
.
26

  Д о к а з а т е л ь с т в о. Это его свойство является непосредственным следствием
симметрии первой и второй фундаментальных форм. Действительно, из (35) при
любом выборе касательных векторов имеем
                 (W a, b) = h(a, b) = h(b, a) = (W b, a) = (a, W b). ¤
  Выясним, как он действует на векторы касательной плоскости. Для этого вторую
билинейную форму (32), используя выражения (31) для ее коэффициетов, запишем
в виде
                 h(a, b) = (W a, b) = −(ai ∂i m, b) = −(dm(a), b).
Отсюда, учитывая произвольность в выборе вектора b , получим
                                W a = −dm(a) = −ai ∂i m.                                 (36)
Это, взятая с противоположным знаком, производная единичного вектора нормали
в направлении вектора a ∈ TA M . Итак, оператор Вейнгартена преобразует всякий
вектор a ∈ TA M в вектор −dm(a) ∈ TA M , который в силу условия |m| = 1 , снова
принадлежит касательной плоскости.
  Что касается трехиндексных коэффициентов уравнений (a) , то мы отложим их
рассмотрение до лекции 18.
  Примеры.
  1) Для сферы радиуса R m = Rr , а его дифференциал равен dm = dr            R
                                                                                . Следо-
                                                                        dr(a)
вательно, для всякого вектора a касательной плоскости W a = − R , а так как
dr(a) = ai ri = a , то W a = − Ra . Это гомотетия второго рода.
  2) Рассмотрим геликоид r = ue(v) + avk , a = const . Его единичный вектор нор-
мали мы уже нашли в п. 15.2, пр.2: m = √uk−ag u2 +a2
                                                     . Вычислим его производные
             aug(v) + a2 k     ar2                           ae(v)         ar1
       ∂1 m =   2   2 3/2
                           = 2     2  3/2
                                           , ∂2 m = 2            2 1/2
                                                                       = 2           .
              (u + a )      (u + a )                    (u + a )        (u + a2 )1/2
Тогда из деривационных уравнений следует, что
                             Ã                                 !
                                     0         − (u2 +aa2 )3/2
                         W =                                     .
                               − (u2 +aa2 )1/2       0

Страницы