Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

25
компонентами h
ij
(u, v) , которые при переходе к другой параметризации преобразу-
ются по тензорному закону. Наряду с (32) рассматривают также вторую квадратич-
ную форму поверхности h(a, a) , которую часто записывают в виде ϕ
2
= h
ij
du
i
du
j
.
Примеры.
1) Для плоскости нормальный вектор m = const . Поэтому h
ij
= −(∂
i
m, r
j
) = 0 .
2) Найдем вторую квадратичную форму геликоида r = ue(v) + avk . Нам понадо-
бятся производные первого и второго порядка радиуса-вектора. Имеем
r
1
= e(v), r
2
= ug(v) + ak, r
11
= 0, r
12
= g(v), r
22
= −ue(v).
Так как [r
u
, r
v
] = uk − ag , то единичный вектор нормали равен
m =
uk − ag
√
u
2
+ a
2
.
Вычисляя коэффициенты (31), получим
h
11
= 0, h
12
= −
a
√
u
2
+ a
2
, h
22
= 0.
Следовательно, вторая кадратичная форма геликоида имеет вид
ϕ
2
= −
2adudv
√
u
2
+ a
2
.
15.3. Оператор Вейнгартена.
Рассмотрим теперь уравнения (b) системы (30). Если умножить их скалярно на
векторы r
j
, получим
(∂
i
m, r
j
) = −W
s
i
g
sj
.
Но согласно формуле (31) (∂
i
m, r
j
) = −(m, r
ij
) = −h
ij
. Поэтому
h
ij
= W
s
i
g
sj
. (33)
Таким образом, для нахождения коэффициентов W
k
i
уравнений (30b) мы получили
систему линейных уравнений. Свертывая их с компонентами g
jm
тензора, обратного
к метрическому, и учитывая, что g
sj
g
jm
= δ
m
s
, разрешим эту систему относительно
коэффициентов W
i
j
W
k
i
= g
kj
h
ij
. (34)
Эти коэффициенты определяют в касательной плоскости каждой точки поверхности
некоторый линейный оператор
˜
a = W a : ˜a
i
= W
i
j
a
j
, который называется операто-
ром Вейнгартена. Нетрудно видеть, что это тензор валентности (1, 1) . Для того,
чтобы установить его свойства, рассмотрим вторую фундаментальную форму (32) и
подставим туда ее коэффициенты из (33). Получим h
ij
a
i
b
j
= g
sj
W
s
i
a
i
b
j
или
h(a, b) = (W a, b). (35)
Это значит, что W является линейным оператором, присоединенным ко второй фун-
даментальной форме.
Теорема 15. Оператор Вейнгартена является самосопряженным:
(W a, b) = (a, W b), ∀a, b ∈ T
r
M.
                                                                                         25

компонентами hij (u, v) , которые при переходе к другой параметризации преобразу-
ются по тензорному закону. Наряду с (32) рассматривают также вторую квадратич-
ную форму поверхности h(a, a) , которую часто записывают в виде ϕ2 = hij dui duj .
  Примеры.
  1) Для плоскости нормальный вектор m = const . Поэтому hij = −(∂i m, rj ) = 0 .
  2) Найдем вторую квадратичную форму геликоида r = ue(v) + avk . Нам понадо-
бятся производные первого и второго порядка радиуса-вектора. Имеем
         r1 = e(v),   r2 = ug(v) + ak,   r11 = 0,       r12 = g(v),    r22 = −ue(v).
Так как [ru , rv ] = uk − ag , то единичный вектор нормали равен
                                       uk − ag
                                    m= √         .
                                         u2 + a2
Вычисляя коэффициенты (31), получим
                                                 a
                        h11 = 0,   h12 = − √            ,   h22 = 0.
                                               u2 + a 2
Следовательно, вторая кадратичная форма геликоида имеет вид
                                          2adudv
                                   ϕ2 = − √         .
                                            u2 + a2


  15.3. Оператор Вейнгартена.

  Рассмотрим теперь уравнения (b) системы (30). Если умножить их скалярно на
векторы rj , получим
                             (∂i m, rj ) = −Wis gsj .
Но согласно формуле (31) (∂i m, rj ) = −(m, rij ) = −hij . Поэтому
                                     hij = Wis gsj .                                   (33)
Таким образом, для нахождения коэффициентов Wik уравнений (30b) мы получили
систему линейных уравнений. Свертывая их с компонентами g jm тензора, обратного
к метрическому, и учитывая, что gsj g jm = δsm , разрешим эту систему относительно
коэффициентов Wji
                                     Wik = g kj hij .                                  (34)
Эти коэффициенты определяют в касательной плоскости каждой точки поверхности
некоторый линейный оператор ã = W a : ãi = Wji aj , который называется операто-
ром Вейнгартена. Нетрудно видеть, что это тензор валентности (1, 1) . Для того,
чтобы установить его свойства, рассмотрим вторую фундаментальную форму (32) и
подставим туда ее коэффициенты из (33). Получим hij ai bj = gsj Wis ai bj или
                                   h(a, b) = (W a, b).                                 (35)
Это значит, что W является линейным оператором, присоединенным ко второй фун-
даментальной форме.
Теорема 15. Оператор Вейнгартена является самосопряженным:
                          (W a, b) = (a, W b),     ∀ a, b ∈ Tr M.

Страницы