Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

24
Лекция 15. ДЕРИВАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
15.1. Сопровождающий репер и деривационные уравнения поверхности.
Изучая бирегулярные кривые в евклидовом пространстве, мы присоединяли к каж-
дой точке кривой сопровождающий репер и, изучая его движение вдоль кривой,
выяснили, что строение кривой в окрестности данной точки определяется двумя
функциями — кривизной и кручением. Аналогичный метод мы применим и в слу-
чае поверхности. Пусть M : r = r(u
i
) — регулярно параметризованная поверхность.
Начнем с определения сопровождающего репера.
Определение. Сопровождающим репером поверхности в точке r(u
1
, u
2
) ∈ M
называется репер {r
1
, r
2
, m}, где r
i
= ∂
i
r — векторы натурального репера каса-
тельной плоскости в этой точке, m — единичный вектор нормали.
Напомним, что вектор N = [r
1
, r
2
] направлен по нормали к поверхности и поэтому
m =
[r
1
, r
2
]
|[r
1
, r
2
]|
=
[r
1
, r
2
]
√
g
.
При смещении из точки r(u
i
) в точку r
0
(u
i
+h
i
) сопровождающий репер изменяется
в соответствии со строением поверхности в окрестности исходной точки. Так как
r
j
(u
k
+ h
k
) = r
j
(u
k
) + h
i
∂
i
r
j
(u
k
) + 0
0
2
, m(u
k
+ h
k
) = m(u
k
) + h
i
∂
i
m(u
k
) + 0
00
2
,
то главной своей части это изменение определяется первыми производными ∂
i
r
j
и
∂
i
m векторов сопровождающего репера по криволинейным координатам. Разлагая
их в линейные комбинации по векторам исходного репера, получим соотношения,
которые называются деривационными уравнениями поверхности
a) ∂
i
r
j
= Γ
k
ij
r
k
+ h
ij
m ,
b) ∂
i
m = −W
k
i
r
k
.
(30)
Здесь мы учли, что нормальный вектор m единичный. Поэтому его дифференци-
ал, а значит и производные ортогональны к нему и лежат в касательной плоскости.
Коэффициенты этих уравнений — функции криволинейных координат (u
1
, u
2
) . За-
дача состоит в том, чтобы найти эти коэффициенты и выяснить их геометрический
смысл.
15.2. Вторая фундаментальная форма поверхности.
Займемся сначала первой серией уравнений. Заметим, что так как ∂
i
r
j
= r
ij
суть
вторые частные производные радиуса-вектора поверхности, они симметричны по ин-
дексам ij . Следовательно, симметричны по этим индексам и коэффициенты, сто-
ящие в правой части уравнений: Γ
k
ij
= Γ
k
ji
, h
ij
= h
ji
. Умножая их скалярно на
единичный вектор нормали и учитывая, что (r
k
, m) = 0 , получим
h
ij
= (m, r
ij
) = −(∂
i
m, r
j
). (31)
Эти коэффициенты определяют на поверхности симметричную билинейную форму
h(a, b) = h
ij
a
i
b
j
, (32)
которая называется второй фундаментальной формой поверхности. Эта форма пред-
ставляет собой симметричное дважды ковариантное тензорное поле на поверхности с
24

           Лекция 15. ДЕРИВАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ

     15.1. Сопровождающий репер и деривационные уравнения поверхности.


  Изучая бирегулярные кривые в евклидовом пространстве, мы присоединяли к каж-
дой точке кривой сопровождающий репер и, изучая его движение вдоль кривой,
выяснили, что строение кривой в окрестности данной точки определяется двумя
функциями — кривизной и кручением. Аналогичный метод мы применим и в слу-
чае поверхности. Пусть M : r = r(ui ) — регулярно параметризованная поверхность.
Начнем с определения сопровождающего репера.
  Определение. Сопровождающим репером поверхности в точке r(u1 , u2 ) ∈ M
называется репер {r1 , r2 , m} , где ri = ∂i r — векторы натурального репера каса-
тельной плоскости в этой точке, m — единичный вектор нормали.
  Напомним, что вектор N = [r1 , r2 ] направлен по нормали к поверхности и поэтому
                                                [r1 , r2 ]   [r1 , r2 ]
                                         m=                 = √ .
                                               |[r1 , r2 ]|        g
При смещении из точки r(ui ) в точку r0 (ui + hi ) сопровождающий репер изменяется
в соответствии со строением поверхности в окрестности исходной точки. Так как
     rj (uk + hk ) = rj (uk ) + hi ∂i rj (uk ) + 002 ,   m(uk + hk ) = m(uk ) + hi ∂i m(uk ) + 0002 ,
то главной своей части это изменение определяется первыми производными ∂i rj и
∂i m векторов сопровождающего репера по криволинейным координатам. Разлагая
их в линейные комбинации по векторам исходного репера, получим соотношения,
которые называются деривационными уравнениями поверхности
                                  a) ∂i rj = Γkij rk  + hij m ,
                                                                                                    (30)
                                  b) ∂i m = −Wik rk .
Здесь мы учли, что нормальный вектор m единичный. Поэтому его дифференци-
ал, а значит и производные ортогональны к нему и лежат в касательной плоскости.
Коэффициенты этих уравнений — функции криволинейных координат (u1 , u2 ) . За-
дача состоит в том, чтобы найти эти коэффициенты и выяснить их геометрический
смысл.

     15.2. Вторая фундаментальная форма поверхности.

  Займемся сначала первой серией уравнений. Заметим, что так как ∂i rj = rij суть
вторые частные производные радиуса-вектора поверхности, они симметричны по ин-
дексам ij . Следовательно, симметричны по этим индексам и коэффициенты, сто-
ящие в правой части уравнений: Γkij = Γkji , hij = hji . Умножая их скалярно на
единичный вектор нормали и учитывая, что (rk , m) = 0 , получим
                                      hij = (m, rij ) = −(∂i m, rj ).                               (31)
Эти коэффициенты определяют на поверхности симметричную билинейную форму
                                             h(a, b) = hij ai bj ,                                  (32)
которая называется второй фундаментальной формой поверхности. Эта форма пред-
ставляет собой симметричное дважды ковариантное тензорное поле на поверхности с

Страницы