Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 63 стр.

22

     Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем соотношение (29) в координатах
                                 gij ai bj = gkm
                                              ∗
                                                 fik fjm ai bj ,
откуда в силу произвольности векторов a и b
                                gij (us ) = gkm
                                             ∗
                                                (u∗s )fik fjm .
Выберем теперь на поверхностях согласованные с отображением координаты, в кото-
рых f : u∗i = ui . Тогда якобиева матрица диффеоморфизма становится единичной
и ее компоненты fki = δki . Наше равенство принимает вид gij (us ) = gij∗ (us ) . Доста-
точность этого признака очевидна. ¤
  В дальнейшем, если не оговорено противное, при рассмотрении диффеоморфиз-
мов и, в частности, изометрий мы будем использовать согласованные координаты.
Следующая теорема дает геометрическую характеристику изометрии.
Теорема 13. Диффеоморфизм является изометрией тогда и только тогда, когда
равны длины дуг соответствующих путей: s = s∗ .
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть поверхности изометричны и отнесены к согла-
сованным координатам. Тогда соответствующие пути имеют одинаковые уравнения
ui = ui (t) , а поскольку их метрические тензоры в этих координатах совпадают, то
длины дуг соответствующих путей вычисляются по одной и той же формуле
                                 Z t2 q
                              s=        gij (uk (t))ui0 uj 0 dt.
                                    t1

Следовательно, они равны. Обратно, пусть соответствующие при отображении дуги
путей равны: s = s∗ , т. е. при одинаковых пределах
                 Z t2 q                       Z t2 q
                                k     i0 j 0
                          gij (u (t))u u dt =        gij∗ (uk (t))ui0 uj 0 dt.
                      t1                           t1

Тогда в силу произвольности этих пределов подынтегральные выражения равны, а в
силу произвольности в выборе путей и, следовательно, функций uk (t) , равны и ком-
поненты метрических тензоров. Согласно теореме (12) это означает, что поверхности
изометричны. ¤
  Частным случаем изометрии является изгибание поверхности. Это ее такая глад-
кая деформация, при которой сохраняются длины дуг путей на поверхности. Анали-
тически изгибание задают формулой r = r(u, v, λ) , где векторная функция гладко
зависит от некоторого параметра λ .
  Определение. Две поверхности называются наложимыми, если существует из-
гибание одной поверхности на другую.
  Из теоремы (13) следует, что наложимые поверхности изометричны и, значит, их
первые фундаментальные формы совпадают. Обратное верно лишь локально. На-
пример, сфера в целом не допускает изгибания, хотя локально это возможно.
  Пример. Рассмотрим прямой круговой цилиндр x2 + y 2 = 1 и на нем область,
определенную неравенствами x > 0, y > 0, 0 < z < 1 . Параметризуем цилиндр
уравнением r̄ = e(ϕ) + vk . Для заданной области параметры изменяются в пределах
0 < ϕ < π2 , 0 < v < 1 . В этих координатах первая квадратичная форма цилиндра
имеет вид dr̄2 = dϕ2 + dv 2 . С другой стороны, рассмотрим плоскость, которая в
прямоугольных координатах имеет радиус-вектор r = xi+yj и первую квадратичную
форму dr2 = dx2 +dy 2 . Отсюда видно, что отображение, задаваемое равенствами x =
ϕ, y = v является изометрией рассматриваемой области цилиндра на прямоугольную