Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

21
Теорема 10. Со всяким гладким отображением (27) связано линейное отображе-
ние касательных пространств в соответствующих точках df : T
A
M → T
A
∗
M
∗
,
матрицей которого относительно натуральных реперов является якобиева мат-
рица
(f
i
j
) =
µ
∂
1
f
1
∂
2
f
1
∂
1
f
2
∂
2
f
2
. (28)
Оно называется дифференциалом данного отображения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на поверхности M точку A(u
i
) и проходя-
щий через нее при t = 0 гладкий путь Γ с внутренними уравнениями u
i
= u
i
(t) . Его
радиус-вектор p(t) = r(u
i
(t)) . В этой точке он имеет касательный вектор a = p
0
(0) ,
который в натуральном репере имеет координаты a
i
= (
du
i
dt
)(0) . В результате отоб-
ражения мы получим на M
∗
путь Γ
∗
: p
∗
(t) = f(p(t)) , который в точке t = 0 имеет
касательный вектор a
∗
= p
∗0
(0) . Таким образом, получаем отображение касатель-
ных пространств df : T
A
M → T
f(A)
M
∗
, при котором всякому вектору a ∈ T
A
M
соответствует вектор a
∗
= df(a) . Запишем его в координатах. Дифференцируя по t
соотношение между путями и полагая затем t = 0 , получим
a
∗i
=
df
i
(u
j
(t))
dt
¯
¯
¯
t=0
=
∂f
i
∂u
j
du
j
dt
¯
¯
¯
|t=0
= f
i
j
(u, v)a
j
.
Это искомое линейное отображение касательных пространств. ¤
Отображение f называется регулярным, если якобиева матрица имеет максималь-
ный ранг r = 2 . В этом случае отображения df касательных пространств являются
линейными изоморфизмами. Тогда в силу теоремы об обратной функции для каж-
дой точки существует окрестность U , в которой отображение f
U
является диффео-
морфизмом. Поэтому регулярные отображения поверхностей являются локальными
диффеоморфизмами.
Теорема 11. Если отображение регулярно, то в окрестностях соответствующих
точек параметризации поверхностей можно выбрать так, чтобы соответствую-
щие точки имели одинаковые координаты. Тогда локально отображение запишется
в виде: f
U
: u
∗i
= u
i
.
Такие координаты называются согласованными с отображением.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в координатах, определенных в окрестностях
U ⊂ M и f (U ) ⊂ M
∗
, отображение имеет вид f
U
: u
∗i
= f
i
(u
j
) . Выберем в окрест-
ности U поверхности M новые координаты ˜u
i
= f
i
(u
j
) . Тогда в этих координатах
отображение запишется в виде u
∗i
= ˜u
i
. ¤
14.2. Изометрия и изгибание поверхностей.
Пусть f — диффеоморфизм поверхности M на поверхность M
∗
.
Определение. Диффеоморфизм f : M → M
∗
называется изометрией, если его
дифференциал df : T
A
M → T
f(A)
M
∗
сохраняет скалярное произведение:
(a, b) = (df(a), df(b)), ∀a, b ∈ T
A
M. (29)
При локальном диффеоморфизме говорят о локальной изометрии.
Теорема 12. Диффеоморфизм является изометрией тогда и только тогда, когда
компоненты метрических тензоров в координатах, согласованных с отображени-
ем, совпадают: g
ij
(u, v) = g
∗
ij
(u, v) .
                                                                                              21

Теорема 10. Со всяким гладким отображением (27) связано линейное отображе-
ние касательных пространств в соответствующих точках df : TA M → TA∗ M ∗ ,
матрицей которого относительно натуральных реперов является якобиева мат-
рица                               µ               ¶
                             i       ∂1 f 1 ∂2 f 1
                           (fj ) =                   .                 (28)
                                     ∂1 f 2 ∂2 f 2
  Оно называется дифференциалом данного отображения.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на поверхности M точку A(ui ) и проходя-
щий через нее при t = 0 гладкий путь Γ с внутренними уравнениями ui = ui (t) . Его
радиус-вектор p(t) = r(ui (t)) . В этой точке он имеет касательный вектор a = p0 (0) ,
                                                                     i
который в натуральном репере имеет координаты ai = ( du            dt
                                                                       )(0) . В результате отоб-
                              ∗              ∗ ∗
ражения мы получим на M путь Γ : p (t) = f (p(t)) , который в точке t = 0 имеет
касательный вектор a∗ = p∗0 (0) . Таким образом, получаем отображение касатель-
ных пространств df : TA M → Tf (A) M ∗ , при котором всякому вектору a ∈ TA M
соответствует вектор a∗ = df (a) . Запишем его в координатах. Дифференцируя по t
соотношение между путями и полагая затем t = 0 , получим
                           df i (uj (t)) ¯¯     ∂f i duj ¯¯
                     a∗i =                ¯ =             ¯ = fji (u, v)aj .
                                 dt        t=0  ∂uj dt |t=0
Это искомое линейное отображение касательных пространств. ¤
  Отображение f называется регулярным, если якобиева матрица имеет максималь-
ный ранг r = 2 . В этом случае отображения df касательных пространств являются
линейными изоморфизмами. Тогда в силу теоремы об обратной функции для каж-
дой точки существует окрестность U , в которой отображение fU является диффео-
морфизмом. Поэтому регулярные отображения поверхностей являются локальными
диффеоморфизмами.
Теорема 11. Если отображение регулярно, то в окрестностях соответствующих
точек параметризации поверхностей можно выбрать так, чтобы соответствую-
щие точки имели одинаковые координаты. Тогда локально отображение запишется
в виде: fU : u∗i = ui .
  Такие координаты называются согласованными с отображением.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в координатах, определенных в окрестностях
U ⊂ M и f (U ) ⊂ M ∗ , отображение имеет вид fU : u∗i = f i (uj ) . Выберем в окрест-
ности U поверхности M новые координаты ũi = f i (uj ) . Тогда в этих координатах
отображение запишется в виде u∗i = ũi . ¤

  14.2. Изометрия и изгибание поверхностей.

  Пусть f — диффеоморфизм поверхности M на поверхность M ∗ .
  Определение. Диффеоморфизм f : M → M ∗ называется изометрией, если его
дифференциал df : TA M → Tf (A) M ∗ сохраняет скалярное произведение:
                          (a, b) = (df (a), df (b)),   ∀a, b ∈ TA M.                       (29)
При локальном диффеоморфизме говорят о локальной изометрии.
Теорема 12. Диффеоморфизм является изометрией тогда и только тогда, когда
компоненты метрических тензоров в координатах, согласованных с отображени-
ем, совпадают: gij (u, v) = gij∗ (u, v) .

Страницы