Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

19
Составим интегральную сумму и перейдем к пределу при ∆u
α
→ 0, ∆u
β
→ 0
σ = lim
X
α,β
{|[r
1
, r
2
]|∆u
α
∆v
β
+ 0
3
}.
Если этот предел существует, то он дает двойной интеграл по рассматриваемой об-
ласти
σ =
Z
Q
|[r
1
, r
2
]|dudv .
Займемся теперь подынтегральным выражением. Так как
[r
1
, r
2
]
2
= r
2
1
r
2
2
sin
2
θ = r
2
1
r
2
2
− (r
1
, r
2
)
2
= g
11
g
22
− g
12
,
то окончательно имеем
σ =
Z
Q
√
g dudv , g = det(g
ij
). (26)
Полученный результат показывает, что эта задача измерения опять решается с по-
мощью лишь первой фундаментальной формы.
Пример. Подсчитаем площадь сферического сектора, ограниченного парой мери-
дианов, например, ϕ = 0 и ϕ = ϕ
◦
. Мы уже установили, что для сферы радиуса a
в географических координатах
g
11
= a
2
, g
12
= 0, g
22
= a
2
cos
2
θ
и, следовательно, g = a
4
cos
2
θ . Тогда
σ = a
2
Z
π
2
−
π
2
Z
ϕ
◦
0
cos θdθdϕ .
Вычисляя, получим σ = 2a
2
ϕ
◦
. В частности, площадь всей сферы равна σ = 4πa
2
.
                                                                                             19

Составим интегральную сумму и перейдем к пределу при ∆uα → 0, ∆uβ → 0
                              X
                      σ = lim   {|[r1 , r2 ]|∆uα ∆vβ + 03 } .
                                         α,β

Если этот предел существует, то он дает двойной интеграл по рассматриваемой об-
ласти                              Z
                              σ=     |[r1 , r2 ]|dudv .
                                                  Q
Займемся теперь подынтегральным выражением. Так как
                  [r1 , r2 ]2 = r21 r22 sin2 θ = r21 r22 − (r1 , r2 )2 = g11 g22 − g12 ,
то окончательно имеем                Z
                                             √
                               σ=                g dudv ,             g = det(gij ).       (26)
                                         Q
Полученный результат показывает, что эта задача измерения опять решается с по-
мощью лишь первой фундаментальной формы.
  Пример. Подсчитаем площадь сферического сектора, ограниченного парой мери-
дианов, например, ϕ = 0 и ϕ = ϕ◦ . Мы уже установили, что для сферы радиуса a
в географических координатах
                               g11 = a2 , g12 = 0, g22 = a2 cos2 θ
и, следовательно, g = a4 cos2 θ . Тогда
                                       Z            π    Z       ϕ◦
                                                    2
                                     2
                              σ=a                                     cos θdθdϕ .
                                                  − π2       0

Вычисляя, получим σ = 2a2 ϕ◦ . В частности, площадь всей сферы равна σ = 4πa2 .

Страницы