Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18
Предположим, что эти пути пересекаются в точке A : u
i
1
(t) = u
i
2
(τ) . Из этих двух
уравнений, если они имеют решение, мы можем найти значения параметров t и τ ,
соответствующие точке пересечения, а значит и саму эту точку.
Определение. Угол между путями на поверхности — это угол между их каса-
тельными векторами в точке пересечения.
Косинус этого угла равен
cos θ =
(p
0
1
, p
0
2
)
|p
0
1
||p
0
2
|
¯
¯
¯
A
,
где производные вычислены в точке пересечения. Запишем это выражение в коор-
динатах. Так как p
0
1
= r
i
du
i
1
dt
и аналогично p
0
2
= r
i
du
i
2
dτ
, скалярное произведение этих
двух векторов в точке (u
i
) равно
(p
0
1
, p
0
2
) = g
ij
du
i
1
dt
du
j
2
dτ
.
В результате получим формулу
cos θ =
g
ij
u
0
i
1
u
0
j
2
q
g
ij
u
0
i
1
u
0
j
1
q
g
ij
u
0
i
2
u
0
j
2
¯
¯
¯
A
, (25)
где производные берутся по соответствующим параметрам. Мы видим, что здесь
опять используются только внутренние уравнения путей и коэффициенты первой
фундаментальной формы.
Пример. Вернемся к рассмотренному выше примеру поверхности с первой фун-
даментальной формой dr
2
= a
2
du
2
+ dv
2
и найдем угол, который путь u
1
= t, v
1
= bt
образует с координатными линиями u
2
= c, v
2
= τ , c = const . Например, в слу-
чае цилиндра это винтовая линия и прямолинейные образующие. Точка пересече-
ния имеет координаты (c, bc) . Вычисляя производные, получим u
0
1
= 1, v
0
1
= b ,
u
0
2
= 0, v
0
2
= 1 . Тогда формула (25) дает следующий результат: cos θ =
b
√
a
2
+b
2
. Та-
ким образом, искомый угол не зависит от выбора константы c , а только от формы
винтовой линии.
13.4. Площадь области на поверхности.
Пусть задана параметризованная поверхность и на ней рассматривается некоторая
область Q ⊂ M , ограниченная кусочно-гладким замкнутым путем Γ . Вычислим
площадь этой области [2]. Разобьем эту область конечной сетью координатных путей
u
α
= const, (α = 1, . . . m) и v
β
= const, (β = 1, . . . n) на малые криволинейные
параллелограммы. Рассмотрим один из них Q
αβ
с вершинами
(u
α
, v
β
), (u
α
+ ∆u
α
, v
β
), (u
α
, v
β
+ ∆v
β
), (u
α
+ ∆u
α
, v
β
+ ∆v
β
)
и подсчитаем его площадь ∆σ
αβ
. Для этого рассмотрим радиусы-векторы этих точек
и их разности
r(u
α
+ ∆u
α
, v
β
) −r(u
α
, v
β
) = r
1
(u
α
, v
β
)∆u
α
+ 0
0
2
,
r(u
α
, v
β
+ ∆v
β
) − r(u
α
, v
β
) = r
2
(u
α
, v
β
)∆v
β
+ 0
00
2
,
где 0
0
2
, 0
00
2
— малые второго порядка. Векторы r
1
(u
α
, v
β
)∆u
α
и r
2
(u
α
, v
β
)∆v
β
касают-
ся координатных линий и образуют плоский параллелограмм в касательной плоско-
сти точки (u
α
, v
β
) . Его площадь мы можем подсчитать с помощью векторного произ-
ведения. Площадь исходного параллелограмма отличается от нее на малые третьего
порядка
∆σ
αβ
= |[r
1
, r
2
]|∆u
α
∆v
β
+ 0
3
.
18

Предположим, что эти пути пересекаются в точке A : ui1 (t) = ui2 (τ ) . Из этих двух
уравнений, если они имеют решение, мы можем найти значения параметров t и τ ,
соответствующие точке пересечения, а значит и саму эту точку.
  Определение. Угол между путями на поверхности — это угол между их каса-
тельными векторами в точке пересечения.
Косинус этого угла равен
                                         (p0 , p0 ) ¯¯
                                  cos θ = 01 20 ¯ ,
                                         |p1 ||p2 | A
где производные вычислены в точке пересечения. Запишем это выражение в коор-
                         dui                           dui
динатах. Так как p01 = ri dt1 и аналогично p02 = ri dτ2 , скалярное произведение этих
двух векторов в точке (ui ) равно
                                                        dui1 duj2
                                   (p01 , p02 )   = gij           .
                                                         dt dτ
В результате получим формулу
                                            gij u0 i1 u0 j2       ¯
                                                                  ¯
                             cos θ = q            q               ¯ ,                 (25)
                                           0 i 0j           0 i 0j A
                                      gij u 1 u 1 gij u 2 u 2
где производные берутся по соответствующим параметрам. Мы видим, что здесь
опять используются только внутренние уравнения путей и коэффициенты первой
фундаментальной формы.
    Пример. Вернемся к рассмотренному выше примеру поверхности с первой фун-
даментальной формой dr2 = a2 du2 + dv 2 и найдем угол, который путь u1 = t, v1 = bt
образует с координатными линиями u2 = c, v2 = τ , c = const . Например, в слу-
чае цилиндра это винтовая линия и прямолинейные образующие. Точка пересече-
ния имеет координаты (c, bc) . Вычисляя производные, получим u0 1 = 1, v 0 1 = b ,
u0 2 = 0, v 0 2 = 1 . Тогда формула (25) дает следующий результат: cos θ = √a2b+b2 . Та-
ким образом, искомый угол не зависит от выбора константы c , а только от формы
винтовой линии.

     13.4. Площадь области на поверхности.

  Пусть задана параметризованная поверхность и на ней рассматривается некоторая
область Q ⊂ M , ограниченная кусочно-гладким замкнутым путем Γ . Вычислим
площадь этой области [2]. Разобьем эту область конечной сетью координатных путей
uα = const, (α = 1, . . . m) и vβ = const, (β = 1, . . . n) на малые криволинейные
параллелограммы. Рассмотрим один из них Qαβ с вершинами
             (uα , vβ ), (uα + ∆uα , vβ ), (uα , vβ + ∆vβ ), (uα + ∆uα , vβ + ∆vβ )
и подсчитаем его площадь ∆σαβ . Для этого рассмотрим радиусы-векторы этих точек
и их разности
                     r(uα + ∆uα , vβ ) − r(uα , vβ ) = r1 (uα , vβ )∆uα + 002 ,
                      r(uα , vβ + ∆vβ ) − r(uα , vβ ) = r2 (uα , vβ )∆vβ + 0002 ,
где 002 , 0002 — малые второго порядка. Векторы r1 (uα , vβ )∆uα и r2 (uα , vβ )∆vβ касают-
ся координатных линий и образуют плоский параллелограмм в касательной плоско-
сти точки (uα , vβ ) . Его площадь мы можем подсчитать с помощью векторного произ-
ведения. Площадь исходного параллелограмма отличается от нее на малые третьего
порядка
                                 ∆σαβ = |[r1 , r2 ]|∆uα ∆vβ + 03 .

Страницы