Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

16
Для тензорных полей выполнимы все те алгебраические операции, которые мы
рассмотрели ранее: сложение и умножение тензорных полей, свертывание, поднятие
и опускание индексов. Все они выполняются поточечно. Более того тензорное поле
можно умножить на функцию, поскольку в каждой точке эта операция сводится к
умножению на число.
13.2. Определение первой фундаментальной формы.
Для каждой пары касательных векторов a, b ∈ T
A
M поверхности M рассмот-
рим их скалярное произведение. Пусть в натуральном репере a = a
i
(u, v)r
i
, b =
b
i
(u, v)r
i
. Тогда скалярное произведение равно
(a, b) = (a
i
r
i
, b
j
r
j
) = (r
i
, r
j
)a
i
b
j
,
где идет двойное суммирование. Это симметричная билинейная форма
(a, b) = g
ij
a
i
b
j
, (22)
которая называется первой фундаментальной формой или метрическим тензором
поверхности. В силу билинейности скалярного произведения это симметричное ко-
вариантное тензорное поле второй валентности. Его компоненты g
ij
(u, v) = (r
i
, r
j
)
суть гладкие функции точки, которые при преобразовании координат на поверхности
изменяются по тензорному закону
g
i
0
j
0
(u
k
0
) = g
ij
(u
k
)f
i
i
0
f
j
j
0
, f
i
i
0
=
∂u
i
∂u
i
0
.
Если положить b = a , то получим первую квадратичную форму. Так как для
всякого ненулевого вектора скалярный квадрат a
2
= g
ij
a
i
a
j
> 0 , то эта форма явля-
ется, кроме того,положительно определенной и как следствие этого ее определитель
g = det(g
ij
) > 0 .
Первую квадратичную форму записывают также в другом виде. Если мы рас-
смотрим дифференциалы dr = r
i
du
i
и вычислим их скалярный квадрат, то получим
[2]
dr
2
= g
ij
du
i
du
j
. (23)
Связь с предыдущим выражением устанавливается выражением для дифференциала
(лекц. 1): dr(a) = r
i
a
i
.
Как найти первую фундаментальную форму, если поверхность задана неявным
уравнением F (x, y, z) = 0 ? Для этого надо записать это уравнение в приведенной
форме z = f(x, y ) , а затем перейти к параметрическому виду: r = (x, y, f (x, y)) .
Тогда имеем r
1
= (1, 0, f
0
x
), r
2
= (0, 1, f
0
y
) и поэтому ее коэффициенты равны
g
11
= 1 + (f
0
x
)
2
, g
12
= f
0
x
f
0
y
, g
22
= 1 + (f
0
y
)
2
.
Примеры.
1) Особенно простой вид первая фундаментальная форма принимает на плоскости.
Если выбрать прямоугольные координаты, то r = xi + yj и тогда dr
2
= dx
2
+ dy
2
.
Матрица G = (g
ij
) является единичной. Выберем теперь полярные координаты,
в которых r = re(θ) . В этом случае dr = dre(θ) + rg(θ)dθ . Тогда имеем dr
2
=
dr
2
+ r
2
dθ
2
и, таким образом, g
11
= 1, g
12
= 0, g
22
= r
2
.
2) Рассмотрим сферу радиуса a c центром в начале координат. Ее уравнение в
географических координатах имеет вид
r = a(cos θe(ϕ) + sin θk).
16

  Для тензорных полей выполнимы все те алгебраические операции, которые мы
рассмотрели ранее: сложение и умножение тензорных полей, свертывание, поднятие
и опускание индексов. Все они выполняются поточечно. Более того тензорное поле
можно умножить на функцию, поскольку в каждой точке эта операция сводится к
умножению на число.

     13.2. Определение первой фундаментальной формы.

    Для каждой пары касательных векторов a, b ∈ TA M поверхности M рассмот-
рим их скалярное произведение. Пусть в натуральном репере a = ai (u, v)ri , b =
bi (u, v)ri . Тогда скалярное произведение равно
                           (a, b) = (ai ri , bj rj ) = (ri , rj )ai bj ,
где идет двойное суммирование. Это симметричная билинейная форма
                                        (a, b) = gij ai bj ,                     (22)
которая называется первой фундаментальной формой или метрическим тензором
поверхности. В силу билинейности скалярного произведения это симметричное ко-
вариантное тензорное поле второй валентности. Его компоненты gij (u, v) = (ri , rj )
суть гладкие функции точки, которые при преобразовании координат на поверхности
изменяются по тензорному закону
                                  0                           ∂ui
                        gi0 j 0 (uk ) = gij (uk )fii0 fjj0 ,   fii0 =
                                                                   .
                                                              ∂ui0
   Если положить b = a , то получим первую квадратичную форму. Так как для
всякого ненулевого вектора скалярный квадрат a2 = gij ai aj > 0 , то эта форма явля-
ется, кроме того,положительно определенной и как следствие этого ее определитель
g = det(gij ) > 0 .
   Первую квадратичную форму записывают также в другом виде. Если мы рас-
смотрим дифференциалы dr = ri dui и вычислим их скалярный квадрат, то получим
[2]
                                      dr2 = gij dui duj .                        (23)
Связь с предыдущим выражением устанавливается выражением для дифференциала
(лекц. 1): dr(a) = ri ai .
   Как найти первую фундаментальную форму, если поверхность задана неявным
уравнением F (x, y, z) = 0 ? Для этого надо записать это уравнение в приведенной
форме z = f (x, y) , а затем перейти к параметрическому виду: r = (x, y, f (x, y)) .
Тогда имеем r1 = (1, 0, fx0 ), r2 = (0, 1, fy0 ) и поэтому ее коэффициенты равны
                     g11 = 1 + (fx0 )2 , g12 = fx0 fy0 , g22 = 1 + (fy0 )2 .
  Примеры.
  1) Особенно простой вид первая фундаментальная форма принимает на плоскости.
Если выбрать прямоугольные координаты, то r = xi + yj и тогда dr2 = dx2 + dy 2 .
Матрица G = (gij ) является единичной. Выберем теперь полярные координаты,
в которых r = re(θ) . В этом случае dr = dre(θ) + rg(θ)dθ . Тогда имеем dr2 =
dr2 + r2 dθ2 и, таким образом, g11 = 1, g12 = 0, g22 = r2 .
  2) Рассмотрим сферу радиуса a c центром в начале координат. Ее уравнение в
географических координатах имеет вид
                                r = a(cos θe(ϕ) + sin θk).

Страницы