Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

17
Вычисляя частные производные, получим
r
1
= a(−sin θe(ϕ) + cos θk), r
2
= a cos θg(ϕ).
Тогда
g
11
= a
2
, g
12
= 0, g
22
= a
2
cos
2
θ
и, следовательно,
dr
2
= a
2
(dθ
2
+ cos
2
θdϕ
2
) .
Знание первой фундаментальной формы дает возможность решать на поверхности
задачи, связанные с измерениями, не выходя в 3-мерное пространство. Этот факт, до-
казанный Гауссом, имеет принципиальное значение. Рассмотрим некоторые из таких
задач.
13.3. Длина пути на поверхности и угол между путями.
Пусть на параметризованной поверхности задан путь Γ своими внутренними урав-
нениями u
i
= u
i
(t) . Подставляя их в уравнение поверхности, получим параметриче-
ское уравнение этого пути в пространстве p(t) = r(u
1
(t), u
2
(t)) . Как нам известно,
длина дуги вычисляется по формуле (лекц. 3)
s =
Z
t
2
t
1
|p
0
(t)|dt .
Но p
0
= r
i
du
i
dt
и, следовательно,
p
0
2
= g
ij
(u
k
(t))
du
i
dt
du
j
dt
.
В результате получим
s =
Z
t
2
t
1
q
g
ij
(u
k
(t))u
i
0
u
j
0
dt . (24)
Итак, вычисление длины пути на поверхности может быть произведено только с
помощью первой фундаментальной формы.
Пример. Пусть известно, что некоторая поверхность имеет первую квадратичную
форму dr
2
= a
2
du
2
+ dv
2
, a = const и на ней задан путь с внутренним уравнением
v = bu , (b = const) . Подсчитаем длину его дуги в пределах 0 ≤ t ≤ 2π . Запишем
сначала параметрические уравнения пути, выбрав u за параметр: u = t, v = bt .
Тогда вдоль пути имеем dr
2
= (a
2
+ b
2
)dt
2
, откуда согласно формуле (24) получим
s =
Z
2π
0
√
a
2
+ b
2
dt = 2π
√
a
2
+ b
2
.
Рассмотренная здесь первая фундаментальная форма реализуется, например, на по-
верхности прямого кругового цилиндра с параметрическим уравнением r = ae(v) +
uk . Действительно, так как r
1
= ag(v), r
2
= k , то g
11
= a
2
, g
12
= 0, g
22
= 1 . Это
коэффициенты приведенной выше квадратичной формы, а заданный путь есть вин-
товая линия этого цилиндра.
Следующая задача — об измерении углов на поверхности. Пусть Γ
1
, Γ
2
— два пути
на поверхности, заданные внутренними уравнениями u
i
= u
i
1
(t) и u
i
= u
i
2
(τ) . Тогда
радиусы-векторы этих путей равны
p
1
(t) = r(u
1
1
(t), u
2
1
(t)) , p
2
(τ) = r(u
1
2
(τ), u
2
2
(τ)) .
                                                                                                    17

Вычисляя частные производные, получим
                        r1 = a(− sin θe(ϕ) + cos θk),                  r2 = a cos θg(ϕ).
Тогда
                                  g11 = a2 , g12 = 0, g22 = a2 cos2 θ
и, следовательно,
                                      dr2 = a2 (dθ2 + cos2 θdϕ2 ) .
  Знание первой фундаментальной формы дает возможность решать на поверхности
задачи, связанные с измерениями, не выходя в 3-мерное пространство. Этот факт, до-
казанный Гауссом, имеет принципиальное значение. Рассмотрим некоторые из таких
задач.

  13.3. Длина пути на поверхности и угол между путями.

  Пусть на параметризованной поверхности задан путь Γ своими внутренними урав-
нениями ui = ui (t) . Подставляя их в уравнение поверхности, получим параметриче-
ское уравнение этого пути в пространстве p(t) = r(u1 (t), u2 (t)) . Как нам известно,
длина дуги вычисляется по формуле (лекц. 3)
                                      Z t2
                                  s=       |p0 (t)|dt .
                                                         t1
             dui
Но p0 = ri   dt
                   и, следовательно,
                                           2                      dui duj
                                       p0 = gij (uk (t))                  .
                                                                  dt dt
В результате получим
                                           Z    t2   q
                                    s=                gij (uk (t))ui0 uj 0 dt .                   (24)
                                               t1
Итак, вычисление длины пути на поверхности может быть произведено только с
помощью первой фундаментальной формы.
  Пример. Пусть известно, что некоторая поверхность имеет первую квадратичную
форму dr2 = a2 du2 + dv 2 , a = const и на ней задан путь с внутренним уравнением
v = bu , (b = const) . Подсчитаем длину его дуги в пределах 0 ≤ t ≤ 2π . Запишем
сначала параметрические уравнения пути, выбрав u за параметр: u = t, v = bt .
Тогда вдоль пути имеем dr2 = (a2 + b2 )dt2 , откуда согласно формуле (24) получим
                              Z 2π √                √
                          s=         a2 + b2 dt = 2π a2 + b2 .
                                       0

Рассмотренная здесь первая фундаментальная форма реализуется, например, на по-
верхности прямого кругового цилиндра с параметрическим уравнением r = ae(v) +
uk . Действительно, так как r1 = ag(v), r2 = k , то g11 = a2 , g12 = 0, g22 = 1 . Это
коэффициенты приведенной выше квадратичной формы, а заданный путь есть вин-
товая линия этого цилиндра.
  Следующая задача — об измерении углов на поверхности. Пусть Γ1 , Γ2 — два пути
на поверхности, заданные внутренними уравнениями ui = ui1 (t) и ui = ui2 (τ ) . Тогда
радиусы-векторы этих путей равны
                       p1 (t) = r(u11 (t), u21 (t)) ,         p2 (τ ) = r(u12 (τ ), u22 (τ )) .

Страницы