Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 56 стр.

                                                                                             15

  ЛЕКЦИЯ 13. ПЕРВАЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ

  13.1. Тензорные поля на поверхности.

    Пусть задана повехность M . Говоря о тензорных полях на поверхности, мы начнем
с более простого случая.
    Определение. Векторным полем на поверхности M (или в области U ⊂ M )
называется отображение, которое каждой точке A ∈ M ставит в соответствие
вектор aA ∈ TA M в касательной плоскости этой точки.
    Если на поверхности заданы криволинейные координаты, то в каждой ее точке
определен натуральный репер {ri } , (i = 1, 2) и тогда векторное поле можно за-
писать в виде a = ai (u1 , u2 )ri . Оно определяется, следовательно, двумя функциями
ai (u1 , u2 ) – компонентами векторного поля. Векторное поле называется гладким, если
эти функции гладкие.
    Определение. Интегральным путем или траекторией векторного поля называ-
ется путь Γ : p = p(t) , касательные   ¯          векторы которого в точках пути совпадают
                               0       ¯
с векторами этого поля: p = a¯ .
                                         Γ
В координатах
                                            dui
                                                  = ai (uk (t)) .                          (21)
                                             dt
Таким образом, нахождение интегральных путей на поверхности сводится к интегри-
рованию системы (21) двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В
силу теоремы Коши через каждую точку A ∈ M поверхности проходит единствен-
ный интегральный путь векторного поля, определенный в некотором максимальном
интервале (a, b) .
    На практике способом отыскания решений часто является нахождение первых ин-
тегралов системы (21), т. е. таких функций F (u, v) , которые постоянны вдоль ин-
тегральных линий: F (u(t), v(t)) = const . В этом случае интегральные пути могут
быть определены неявными уравнениями, задающими 1-параметрическое семейтво
F (u, v) = const .
    Аналогичным образом определяются тензорные поля на поверхности. Для это-
го наряду с касательными плоскостями надо рассмотреть кокасательные плоскости
T ∗M .
    Определение. Тензорное поле валентности на поверхности M есть отображе-
ние A ∈ M → FA (α1 , . . . , αp , a1 , . . . , aq , ) , которое всякой ее точке ставит в соот-
ветствие тензор с аргументами из касательной и кокасательной плоскостей.
    В координатах тензорное поле задается своими компонентами — набором mp+q
функций, которые в каждой точке являются значениями тензора на базисных век-
торах и ковекторах. Например, при p = 1, q = 2
                                    i
                                   Fjk (u, v) = FA (ei , rj , rk ),
где ковекторы ei образуют репер, сопряженный натуральному реперу {rj } . Тен-
зорное поле называется гладким, если эти функции гладкие. При переходе к другой
параметризации компоненты тензорного поля изменяются тензорному закону
                                   0                 0
                                Fji0 k0 (u0 v 0 ) = fii Fjk
                                                         i
                                                            (u, v)fjj0 fkk0 ,
      0          i0         0          i
где fii (uk ) = ∂u
                ∂ui
                                   ∂u
                    и fii0 (uk ) = ∂ui0 — элементы якобивой матрицы преобразования и
обратной к ней. Из этой формулы следует, что обращение тензорного поля в нуль не
зависит от выбора координат. Этот факт имеет принципиально важное значение.