Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 55 стр.

14

При движении точки вдоль образующей линейчатой поверхности, когда t = const ,
этот вектор зависит только от v . В силу теоремы о коллинеарных векторных функ-
циях (лекц. 2) он сохраняет постоянное направление тогда и только тогда, когда
[N, Nv ] = 0 . Вычислим это векторное произведение
                        [N, Nv ] = [[r0 , a], [a0 , a]] = a(r0 , a0 , a).
Отсюда следует
Теорема 9. Для того, чтобы линейчатая поверхность (20) была развертывающей-
ся, необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение (r0 , a, a0 ) = 0 .
  Из определения развертывающейся поверхности следует, что множество ее каса-
тельных плоскостей зависит не от двух, как обычно, а только от одного параметра t .
Другими словами, такая поверхность есть огибающая 1-параметрического семейства
плоскостей. Можно доказать, что и обратно, огибающей всякого 1-параметрического
семейства плоскостей, если она существует, является развертывающаяся поверхность.
  Известна классификация развертывающихся поверхностей [2]. Их три типа. В са-
мом деле, будем искать огибающую Γ 1-параметрического семейства ее прямолиней-
ных образующих. Эта огибающая определяется так же, как и на плоскости. Если она
существует, то называется ребром возврата поверхности. В этом случае поверхность
образована множеством касательных прямых пространственной кривой Γ и называ-
ется поверхностью касательных. В этом случае уравнение этой поверхности имеет
вид R = r(t) + vr0 (t) . Во-вторых, может случиться, что ребро возврата вырождается
в точку и тогда мы имеем дело с конической поверхностью. Тогда r = r0 = const ,
вследствие чего уравнение конуса имеет вид R = r0 + va(t) . Наконец, можно пока-
зать, что если ребра возврата не существует, то a = const и, следовательно, обра-
зующие поверхности параллельны. Это цилиндрическая поверхность с уравнением
R = r(t) + va . Легко видеть, что во всех трех перечисленных случаях условие дока-
занной теоремы выполнено.