Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 53 стр.

12

            ЛЕКЦИЯ 12. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ

     12.1. Поверхности вращения.

  Рассмотрим некоторые специальные виды поверхностей.
  Определение. Поверхность вращения — это поверхность, образованная враще-
нием кривой вокруг некоторой оси.
  Для простоты кривую Γ выберем плоскую, а ось вращения выберем в плоскости
этой кривой. Выберем в пространстве прямоугольную систему координат и пусть
осью вращения является ось Z , а кривая расположена в плоскости ξZ , где ξ — ось,
принадлежащая плоскости XY . Единичные векторы e и k осей ξ и Z вместе с
началом координат образуют ортонормированный репер. Всякая линия, принадле-
жащая этой плоскости, имеет параметрическое уравнение r(t) = ξ(t)e+ z(t)k. Будем
теперь вращать эту плоскость вокруг оси Z . Тогда вектор k не изменится, а из
вектора e получим первую круговую векторную функцию e(ϕ) . В результате
                               r(t, ϕ) = ξ(t)e(ϕ) + z(t)k.                         (18)
Это и есть параметрическое уравнение поверхности вращения. В координатах
                        x = ξ(t) cos ϕ, y = ξ(t) sin ϕ, z = z(t).
Пути ϕ = c2 называются меридианами. Они получаются в результате вращения ис-
ходной кривой. Пути t = c2 — это окружности с центром на оси Z . Они являются
траекториями точек исходной кривой при ее вращении и называются параллелями
поверхности вращения. Отметим, что полученная координатная сеть является ор-
тогональной. Из уравнений поверхности следует x2 + y 2 = ξ 2 (t) . Значит, радиусы
параллелей равны |ξ(t)| . Исключая параметр t , получим неявное уравнение по-
верхности вращения в виде F (x2 + y 2 , z) = 0 .
   Примеры.
   1) В плоскости ξZ рассмотрим окружность радиуса a с центром в начале ко-
ординат. Ее параметрические уравнения ξ = a cos t , z = a sin t . При вращении
вокруг оси Z получим уже знакомую нам сферу с параметрическим уравнением
r(t, ϕ) = a(cos te(ϕ) + sin tk) , где t, ϕ — географические координаты.
   2) Обобщим предыдущий пример. В плоскости ξZ рассмотрим окружность ради-
уса a , но с центром в точке (b, 0) . Ее параметрические уравнения ξ = b + a cos t, z =
a sin t . В результате вращения вокруг оси Z получим тор
                          r(t, ϕ) = (b + a cos t)e(ϕ) + a sin tk.


     12.2. Винтовые поверхности.

  Определение. Винтовыми называются поверхности, полученные вращением плос-
кой кривой Γ вокруг оси, расположенной в ее плоскости, и одновременным перено-
сом этой кривой вдоль той же оси со скоростью, пропорциональной углу поворота.
  Таким образом, поверхность образована в результате винтового движения задан-
ной кривой, откуда и происходит название поверхности. Для того, чтобы получить
ее параметрическое уравнение, мы опять зададим исходную кривую Γ в плоскости
ξZ с ортонормированным репером {e, k} : r(t) = ξ(t)e + z(t)k . Тогда при вращении
вектор e порождает первую круговую векторную функцию e(ϕ) , а в результате
переноса вдоль оси Z функция z(t) заменится на функцию z(t) + aϕ , получив