Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 51 стр.

10

     11.2. Пути на поверхности. Координатная сеть и натуральный репер.

   Вернемся к регулярно параметризованной поверхности r = r(u, v) , где переменные
u, v пробегают область U ⊂ R2 . Рассмотрим регулярную кривую γ в этой области
с параметрическими уравнениями
                                  u = u(t), v = v(t).                             (14)
На поверхности ей соответствует параметризованная кривая Γ с радиусом-вектором
                                 p(t) = r(u(t), v(t)).                            (15)
Таким образом, мы получили параметризованную кривую на поверхности, которую,
чтобы подчеркнуть ее принадлежность поверхности, будем называть путем. Урав-
нения (14) его вполне определяют и мы будем называть их, в отличие от (15), внут-
ренними уравнениями этого пути.
  В частности, рассмотрим в области U 1-параметрическое семейство параллель-
ных прямых v = c2 = const . На поверхности получим 1-параметрическое семейство
путей с уравнениями r(u) = r(u, c2 ) . Аналогично, семейству u = c1 = const со-
ответствует 1-параметрическое семейство путей с уравнениями r(v) = r(c1 , v) . Эти
семейства, вдоль которых изменяется только одна криволинейная координата, на-
зываются координатными линиями. В совокупности они образуют так называемую
координатную сеть.
  Пример. Рассмотрим сферу и ее параметрическое уравнение
                              r = a(cos θe(ϕ) + sin θk).
Пути, для которых постоянна долгота ( ϕ = c2 ) образуют на ней 1-параметрическое
семейство меридианов с уравнениями r(θ) = a(cos θe(c2 ) + sin θk) , а кривые постоян-
ной широты ( θ = c1 ) – 1-параметрическое семейство параллелей, уравнения которых
r(ϕ) = a(cos c1 e(ϕ) + sin c1 k) . Эти пути образуют на сфере географическую сеть. Она
соответствует декартовой сети прямоугольника 0 ≤ ϕ < π, − π2 < θ < π2 на плоско-
сти. Обратим внимание на то, что в северном и южном полюсах, которые при этой
параметризации не являются регулярными точками, правильность географической
сети нарушается.

     11.3. Касательная плоскость и нормаль поверхности.

  Определение. Вектор a называется касательным вектором поверхности в точ-
ке A ∈ M , если он является касательным вектором некоторого пути p(t) на
поверхности, проходящего через эту точку: p0A = a .
  Возникает вопрос: что представляет собой множество таких векторов в данной
точке поверхности? Справедлива
Теорема 7. Если точка A параметризованной поверхности регулярна, то множе-
ство всех касательных векторов в этой точке есть 2-мерное векторное простран-
ство TA M .
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольный гладкий путь Γ , проходя-
щий через заданную точку A поверхности r(u, v) . Параметрическое уравнение пути
имеет вид ¯ p(t) = r(u(t), v(t)) , где u(0) = u, v(0) = v , а касательный вектор равен
           i¯
aA = ri du
         dt ¯
                 = r1 u0 + r2 v 0 , где производные вычислены в этой же точке. Отсюда
             t=0
следует, что он является линейной комбинацией двух векторов r1 , r2 , которые в ре-
гулярной точке линейно независимы. Действительно, поскольку r1 = (xu , yu , zu ), r2 =