Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 50 стр.

                                                                                     9

λ = a cos θ , z = a sin θ . В итоге мы нашли следующее параметрическое уравнение
сферы
                              r(θ, ϕ) = a(cos θe(ϕ) + sin θk) .
Углы θ и ϕ называются географическими координатами на сфере. Полученная век-
торная функция не всюду регулярна: ранг якобиевой матрицы
                            µ                                       ¶
                              −a sin θ cos ϕ −a sin θ sin ϕ a cos θ
                      J=                                              .
                              −a cos θ sin ϕ a cos θ cos ϕ      0
падает при θ = ± π2 . Это северный и южный полюсы сферы. Таким образом, най-
денная нами параметризация регулярна лишь в области на сфере, получаемой после
исключения этих двух диаметрально противоположных точек.
  Поверхность можно задать также уравнением вида
                                     F (x, y, z) = 0,                             (13)
которое называется неявным уравнением поверхности. Однако, такое уравнение не
всегда задает поверхность.
Теорема 6. Непустое подмножество M = {(x, y, z) : F (x, y, z) = 0} евклидова про-
странства есть поверхность,
                      ¯     если: 1) Функция F дифференцируема; 2) В точках
                      ¯
этого множества gradF¯ 6= 0 .
                          M

  Д о к а з а т е л ь с т в о следует из теоремы о неявнх функциях. В силу заданных
условий якобиева матрица J = (Fx , Fy , Fz ) имеет в точках множества, удовлетворя-
ющих уравнению F = 0 , максимальный ранг, равный единице. По теореме о неявной
функции для каждой его точки существует окрестность, в которой уравнение F = 0
локально разрешимо относительно одной из переменных. Если, например, отлична
от нуля производная Fz , это уравнение можно (локально) разрешить относитель-
но переменной z . Тогда получим z = f (x, y) : F (x, y, f (x, y)) ≡ 0 , где f (x, y) —
дифференцируемая функция, определенная в некоторой области U плоскости XY .
Такое уравнение называется приведенным уравнением поверхности. Оно всегда за-
дает поверхность с носителем Γ = {(x, y, f (x, y)) ∈ E3 } , (x, y) ∈ U . Гомеоморфизм
на область U задается ортогональной проекцией на плоскость XY . ¤
  От приведенного уравнения уже просто перейти к параметрическому. Нужно ко-
ординаты x и y задать как произвольные гладкие функции двух параметров u, v с
ненулевым якобианом. Тогда получим
                    x = x(u, v), y = y(u, v), z = f (x(u, v), y(u, v)).
Иногда достаточно положить x = u, y = v .
  Пример.
  Сфера имеет неявное уравнение F = x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0 . Градиент этой функции
равен gradF = (2x, 2y, 2z) и на сфере нигде не обращается в нуль. Рассмотрим, на-
пример, подмножество точек сферы, в которых z 6= 0 . Это подмножество исключает
точки экватора и состоит из двух областей — верхней ( z > 0 ) и   pнижней ( z < 0 )
полусфер. Разрешая уравнение относительно z , получим z = ± a2 − x2 − y 2 . Ес-
ли мы положим x = a cos θ cos ϕ, y = a cos θ sin ϕ , то тогда z = a sin θ . Это уже
знакомые нам параметрические уравнения сферы в географических координатах.