Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 52 стр.

                                                                                    11

(xv , yv , zv ) , то условие их линейной независимости равносильно независимости строк
якобиевой матрицы (12). Это значит, что векторы a принадлежат 2-мерному век-
торному пространству. Пусть теперь a = λr1 + µr2 — произвольный вектор этого
пространства. Тогда существует путь, касательным вектором которого он является.
Например, путь с внутренними уравнениями u(t) = u + λt , v(t) = v + µt . Таким
образом, касательные векторы путей, проходящих через заданную точку, образуют
векторное пространство TA M размерности два с базисом {r1 , r2 } . ¤
  Определение. TA M называется касательным векторным пространством в точ-
ке A ∈ M , а его базис {r1 , r2 } — натуральным базисом в этой точке. Плоскость,
проходящая через данную точку с направляющим пространством TA M , называет-
ся касательной плоскостью поверхности в точке A .
  Обычно касательная плоскость обозначается тем же символом TA M . Векторы на-
турального базиса вместе с точкой A образуют натуральный репер и имеют простой
смысл: в силу своего определения они являются касательными векторами коорди-
натных линий, проходящих через данную точку. Прямая, проходящая через данную
точку и ортогональная касательной плоскости называется нормалью поверхности в
этой точке.
  Найдем уравнения касательной плоскости. Вектор нормали ортогонален векторам
натурального репера и поэтому N = [r1 , r2 ] . Его компоненты (N1 , N2 , N3 ) есть ми-
норы второго порядка матрицы (12). Поэтому уравнение касательной плоскости в
точке r(u, v) имеет вид
                                       (R − r(u, v), N) = 0                        (16)
или в координатах
                          ¯                                        ¯
                          ¯ X − x(u, v) Y − y(u, v) Z − z(u, v) ¯
                          ¯                                        ¯
                          ¯ xu (u, v)     yu (u, v)     zu (u, v) ¯¯ = 0 .
                          ¯
                          ¯ xv (u, v)     yv (u, v)     zv (u, v) ¯
Зная вектор N , несложно записать и уравнение нормали.
  Рассмотрим случай, когда поверхность задана неявным уравнением.
Теорема 8. Нормальный вектор поверхности с неявным уравнением F (x, y, z) = 0
есть градиент gradF , вычисленный в данной точке этой поверхности.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (x, y, z) — координаты точки на поверхности и p =
p(t) — проходящий через нее при t = 0 регулярно параметризованный путь. Имеем
тождество F (x(t), y(t), z(t)) ≡ 0 . Дифференцируя его, получим новое тождество
                     (gradF, r0 ) = Fx x0 (t) + Fy y 0 (t) + Fz z 0 (t) ≡ 0.
Рассмотрим его при t = 0 . Пусть в этой точке gradF 6= 0 . Тогда полученное равен-
ство означает, что вектор gradF = (Fx , Fy , Fz ) ортогонален касательному вектору
пути в этой точке. Но в силу произвольности выбора такого пути этот вектор орто-
гонален касательной плоскости и, следовательно, является нормальным вектором по-
верхности. Уравнение касательной плоскости тогда имеет вид (R−r(u, v), gradF ) = 0
или в координатах
                       Fx (X − x) + Fy (Y − y) + Fz (Z − z) = 0.                  (17)
Если же в данной точке gradF = 0 , касательная плоскость становится неопределен-
ной. Такие точки называются особыми точками поверхности и в дальнейшем мы
будем исключать их из рассмотрения.