Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 54 стр.

                                                                               13

приращение на слагаемое, пропорциональное углу поворота. При этом коэффициент
a = const есть отношение линейной скорости переноса и угловой скорости вращения.
В результате получим следующее параметрическое уравнение
                            r = ξ(t)e(ϕ) + (z(t) + aϕ)k .                    (19)
В координатах
                     x = ξ(t) cos ϕ, y = ξ(t) sin ϕ, z = z(t) + aϕ.
В этом случае координатная сеть уже не ортогональна. Пути ϕ = c2 — это последо-
вательные положения исходной кривой, а пути t = c1 образованы траекториями ее
точек. Это винтовые линии. Отметим, что при a = 0 снова получаем поверхность
вращения.
  Пример. В плоскости XZ зададим прямую с уравнением x(t) = t , z(t) = 0 . Это
ось X . При ее винтовом движении получается поверхность, называемая геликоидом.
Его уравнение
                                   r = te(ϕ) + aϕk .
Координатная сеть состоит из прямолинейных образующих ϕ = c2 и винтовых линий
t = c1 .
  12.3. Линейчатые и развертывающиеся поверхности.
  Определение. Линейчатой называется поверхность, образованная движением
прямой (образующей), скользящей по заданной кривой (направляющей).
  Для того, чтобы получить ее уравнение, зададим параметризованную кривую (на-
правляющую) Γ : r = r(t) и пусть a(t) — единичный вектор, задающий в точках
этой кривой направление прямолинейных образующих. Тогда уравнение линейчатой
поверхности запишется как 1-параметрическое семейство прямых, параметризован-
ное параметром t
                                 R(t, v) = r(t) + va(t).                     (20)
Здесь −∞ < v < ∞ — параметр образующих.
  Примеры.
  1) Пусть направляющей линией является прямая. По ней с постоянной скоростью
v скользит ортогональная к ней образующая, вращаясь вокруг направляющей с по-
стоянной угловой скоростью ω . В результате образуется линейчатая поверхность.
Найдем ее уравнение. Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы на-
правляющей была ось Z , а начальное положение образующей совпадало с осью
X . За время t прямая повернется на угол ϕ = ωt и будет иметь направление
вектора e(ϕ) , а точка ее пересечения с осью Z определяется радиусом-вектором
r(t) = vtk = bϕk , где b = ωv . Согласно уравнению (20) получим R = ve(ϕ) + bϕk .
Нетрудно видеть, что эта поверхность является геликоидом.
  2) Другими примерами линейчатых поверхностей являются цилиндрические и ко-
нические поверхности, однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид.
Как известно из аналитической геометрии, две последних несут на себе два 1-пара-
метрических семейства прямолинейных образующих.
  Определение. Линейчатая поверхность называется развертывающейся, если ее
касательная плоскость постоянна вдоль образующих.
  Найдем условие, выделяющее этот класс поверхностей среди линейчатых. Из урав-
нения (20) вычислим производные Rt = r0 (t) + va0 (t), Rv = a(t) . Следовательно,
нормальный вектор поверхности равен
                     N = [Rt , Rv ] = [r0 (t), a(t)] + v[a0 (t), a(t)].