Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 49 стр.

8

        ЛЕКЦИЯ 11. ПОВЕРХНОСТИ В 3-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ
                        ПРОСТРАНСТВЕ

  11.1. Понятие поверхности. Параметрическое, неявное и приведенное
уравнения.

  Определение. Подмножество M в евклидовом пространстве E3 называется
поверхностью, если всякая его точка A ∈ M обладает такой ε -окрестностью
B(A, ε) , что пересечение M ∩ B(A, ε) гомеоморфно некоторой области Q ∈ R2
вещественной плоскости.
  Таким образом, с топологической точки зрения поверхность локально устроена как
кусок плоскости.
  Примеры.
  1) Сфера в некоторой ε -окрестности любой своей точки устроена как кусок плос-
кости. В самом деле, проекция этой окрестности из центра сферы на касательную
плоскость в этой точке осуществляет указанный в определении гомеоморфизм.
  2) Наоборот, конус в смысле данного определения поверхностью не является. Его
вершина есть особая точка, любая окрестность которой не удовлетворяет указанному
условию.
  Более общим и наиболее употребительным является следующее
  Определение. Параметризованной поверхностью класса C k в евклидовом E3
называется C k -отображение r : U ⊂ R2 → E3 области вещественной плоскости
в это пространство.
  Образ r(U ) ⊂ E3 называется носителем поверхности. Таким образом, парамет-
ризованная поверхность задается векторной функцией двух скалярных аргументов
r = r(u1 , u2 ) , (u1 , u2 ) ∈ U или в координатах
                   x = x(u1 , u2 ),   y = y(u1 , u2 ),   z = z(u1 , u2 ).   (11)
Мы часто будем применять также обозначения u1 = u, u2 = v . Эти соотношения
называются параметрическими уравнениями поверхности, а переменные ui криво-
линейными координатами. Точка параметризованной поверхности называется регу-
лярной, если в этой точке регулярна задающая ее векторная функция. Напомним,
это означает, что ранг якобиевой матрицы
                                  µ                ¶
                                    ∂1 x ∂1 y ∂1 z
                              J=                                         (12)
                                    ∂2 x ∂2 y ∂2 z
равен двум. Как мы увидим, это условие гарантирует, что в окрестности регулярных
точек поверхность диффеоморфна некоторой области на плоскости.
   Следует иметь ввиду, что один и тот же носитель или разные области поверхно-
сти могут быть заданы разными параметрическими уравнениями. Тогда возника-
ют преобразования криволинейных координат, определяемые гладкими функциями
u0 = f (u, v), v 0 = g(u, v) с ненулевым якобианом.
   Пример. Найдем параметрические уравнения сферы радиуса a . Выбрав прямо-
угольные координаты с началом в центре сферы, радиус-вектор r = OA   ~ ее произ-
вольной точки A разложим на две составляющие: r = r1 + zk , где r1 — ортогональ-
ная проекция вектора r на плоскость XY . Пусть 0 ≤ ϕ < 2π — ориентированный
угол, образуемый осью X с вектором r1 (долгота). Тогда его можно записать в виде
r1 = λe(ϕ) и, следовательно, r = λe(ϕ) + zk . Если ввести ориентированный угол
θ , образуемый вектором r с плоскостью XY , − π2 ≤ θ ≤ π2 (широта), то получим