Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
Компоненты этого тензора обозначают той же буквой, делая различие лишь в рас-
положении индексов
T
ijk
= T
∗
(e
i
, e
j
, e
k
) = T (e
i
, e
j
, g
ks
e
s
) = g
ks
T (e
i
, e
j
, e
s
) = g
ks
T
.. s
ij
.
Таким образом, произошло опускание третьего индекса.
10.2. Дискриминантный тензор.
Сначала о некоторых свойствах кососимметричных тензоров.
Теорема 5. Если аргументы кососимметричного тензора линейно зависимы, то
он обращается в нуль.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала частный случай, когда какая-
то пара аргументов кососимметричного тензора T (a
1
, . . . , a
q
) совпадает, например
a
1
= a
2
= a . Тогда, сделав их транспозицию, получим T (a, a, . . . ) = −T (a, a, . . . ) и,
следовательно, T (a, a, . . . ) = 0 . Пусть теперь аргументы кососимметричного тензора
линейно зависимы и a
q
= λ
1
a
1
+ ··· + λ
q−1
a
q−1
. Тогда
T (a
1
, . . . , a
q
) = λ
1
T (a
1
, . . . , a
q−1
, a
1
) + ··· + λ
q−1
T (a
1
, . . . , a
q−1
, a
q−1
).
Но каждое из этих слагаемых равно нулю, так как содержит пару совпадающих
аргументов. ¤
Следствие. Всякий кососимметричный тензор валентности q > m равен нулю.
Рассмотрим кососимметрический тензор ε(a
1
, . . . , a
m
) максимальной валентности
q = m . Он имеет только одну существенную компоненту ε
12...m
= ε(e
1
, . . . , e
m
) . Все
остальные ненулевые компоненты ε
i
1
...i
m
либо с ней совпадают, если подстановка
π =
³
1 2 . . . m
i
1
i
2
. . . i
m
´
четная, либо отличаются от нее знаком, если она нечетная.
Другими словами, ε
12...m
является единственной существенной компонентой эого тен-
зора. Отсюда следует, что
ε(a
1
, . . . , a
m
) =
X
π
ε
i
1
...i
m
a
i
1
1
. . . a
i
n
m
= ε
1...m
det(a
i
j
).
Выберем теперь существенную компоненту этого тензора так, чтобы она была рав-
на ориентированному объему m -мерного параллелепипеда, построенного на базис-
ных векторах e
1
, . . . , e
m
. Он положителен или отрицателен в зависимости от ори-
ентации этого базиса. Но, как известно, квадрат этого объема равен определителю
Грама
ε
2
12...m
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
e
2
1
. . . (e
1
, e
m
)
. . . . . . . . .
(e
1
, e
m
) . . . (e
2
m
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= g .
Таким образом, значение тензора на заданной системе m векторов равно
ε(a
1
, . . . , a
m
) =
√
g det(a
i
j
). (10)
Он называется дискриминантным тензором евклидова пространства. Если же си-
стема координат прямоугольная, то g = 1 . В частности, в 3-мерном евклидовом
пространстве (10) есть смешанное произведение векторов. В этом случае в декарто-
вых координатах он имеет существенную компоненту ε
123
=
√
g .
6

Компоненты этого тензора обозначают той же буквой, делая различие лишь в рас-
положении индексов
            Tijk = T ∗ (ei , ej , ek ) = T (ei , ej , gks es ) = gks T (ei , ej , es ) = gks Tij.. s .
Таким образом, произошло опускание третьего индекса.

    10.2. Дискриминантный тензор.

    Сначала о некоторых свойствах кососимметричных тензоров.
Теорема 5. Если аргументы кососимметричного тензора линейно зависимы, то
он обращается в нуль.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала частный случай, когда какая-
то пара аргументов кососимметричного тензора T (a1 , . . . , aq ) совпадает, например
a1 = a2 = a . Тогда, сделав их транспозицию, получим T (a, a, . . . ) = −T (a, a, . . . ) и,
следовательно, T (a, a, . . . ) = 0 . Пусть теперь аргументы кососимметричного тензора
линейно зависимы и aq = λ1 a1 + · · · + λq−1 aq−1 . Тогда
         T (a1 , . . . , aq ) = λ1 T (a1 , . . . , aq−1 , a1 ) + · · · + λq−1 T (a1 , . . . , aq−1 , aq−1 ).
Но каждое из этих слагаемых равно нулю, так как содержит пару совпадающих
аргументов. ¤
  Следствие. Всякий кососимметричный тензор валентности q > m равен нулю.
  Рассмотрим кососимметрический тензор ε(a1 , . . . , am ) максимальной валентности
q = m . Он имеет только одну существенную компоненту ε12...m = ε(e1 , . . . , em ) . Все
остальные ненулевые компоненты εi1 ...im либо с ней совпадают, если подстановка
    ³                 ´
       1 2 ... m
π=                          четная, либо отличаются от нее знаком, если она нечетная.
       i1 i2 . . . im
Другими словами, ε12...m является единственной существенной компонентой эого тен-
зора. Отсюда следует, что
                                         X
                   ε(a1 , . . . , am ) =   εi1 ...im ai11 . . . aimn = ε1...m det(aij ).
                                               π

  Выберем теперь существенную компоненту этого тензора так, чтобы она была рав-
на ориентированному объему m -мерного параллелепипеда, построенного на базис-
ных векторах e1 , . . . , em . Он положителен или отрицателен в зависимости от ори-
ентации этого базиса. Но, как известно, квадрат этого объема равен определителю
Грама
                                     ¯                              ¯
                                     ¯    e  2
                                                  . . . (e   , e  ) ¯
                                     ¯       1             1    m   ¯
                            2        ¯
                           ε12...m = ¯ . . .      ...      . . . ¯¯ = g .
                                     ¯ (e1 , em ) . . .   (e2m ) ¯
Таким образом, значение тензора на заданной системе m векторов равно
                                                √
                           ε(a1 , . . . , am ) = g det(aij ).                                                  (10)
Он называется дискриминантным тензором евклидова пространства. Если же си-
стема координат прямоугольная, то g = 1 . В частности, в 3-мерном евклидовом
пространстве (10) есть смешанное произведение векторов. В этом случае в декарто-
                                                          √
вых координатах он имеет существенную компоненту ε123 = g .

Страницы