Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4
Вследствие произвольности вектора b получим в координатах
S
j
= T
k
kj
(не забудем, что здесь по повторяющемуся индексу идет суммирование). В общем
случае получим полилинейную функцию от q − 1 векторных и p − 1 ковекторных
аргументов, которая обозначается символом S = tr
k
m
T , где указаны номера тех ар-
гументов, по которым произведено свертывание.
Теорема 2. S есть тензор валентности (p − 1, q − 1) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. S есть функция, полилинейная по оставшимся аргументам,
но в нее входят базисные векторы и надо доказать, что ее значения не зависят от
выбора базиса. Перейдем к новому базису. В нашем примере получим
S
0
(b) = T (e
k
0
, e
k
0
, b) = T (A
k
0
i
e
i
, A
j
k
0
e
j
, b) = δ
j
k
T (e
k
, e
j
, b) = T (e
k
, e
k
, b) = S(b).
В общем случае выкладки аналогичны. ¤
В практических вычислениях свертывание часто комбинируется с умножением
тензоров. Например,
tr
1
3
: T
k
ij
S
l
m
→ T
k
ij
S
l
k
.
Пример. Пусть A : V → V — линейный оператор. Как мы видели, его мож-
но рассматривать как тензор валентности (1, 1) с матрицей (A
i
j
) . Его свертывание
trA = A
i
i
приводит к тензору нулевой валентности, т. е. к числу, которое называется
следом линейного оператора.
Задача. Покажите, что свертывание перестановочно с линейными операциями.
4

Вследствие произвольности вектора b получим в координатах
                                                       k
                                                 Sj = Tkj
(не забудем, что здесь по повторяющемуся индексу идет суммирование). В общем
случае получим полилинейную функцию от q − 1 векторных и p − 1 ковекторных
аргументов, которая обозначается символом S = trkm T , где указаны номера тех ар-
гументов, по которым произведено свертывание.
Теорема 2. S есть тензор валентности (p − 1, q − 1) .
  Д о к а з а т е л ь с т в о. S есть функция, полилинейная по оставшимся аргументам,
но в нее входят базисные векторы и надо доказать, что ее значения не зависят от
выбора базиса. Перейдем к новому базису. В нашем примере получим
                    0                   0
    S 0 (b) = T (ek , ek0 , b) = T (Aki ei , Ajk0 ej , b) = δkj T (ek , ej , b) = T (ek , ek , b) = S(b).
В общем случае выкладки аналогичны. ¤
  В практических вычислениях свертывание часто комбинируется с умножением
тензоров. Например,
                                tr13 : Tkij Slm → Tkij Slk .
  Пример. Пусть A : V → V — линейный оператор. Как мы видели, его мож-
но рассматривать как тензор валентности (1, 1) с матрицей (Aij ) . Его свертывание
trA = Aii приводит к тензору нулевой валентности, т. е. к числу, которое называется
следом линейного оператора.
  Задача. Покажите, что свертывание перестановочно с линейными операциями.

Страницы