Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2
обозначать верхними индексами. Выберем его так, чтобы выполнялось условие со-
пряженности e
i
(e
j
) = δ
i
j
. Разложение всякой линейной формы по кобазису ξ = ξ
i
e
i
дает ее компоненты ξ
i
= ξ(e
i
) , а значение на любом векторе равно
ξ(a) = ξ(a
i
e
i
) = ξ
i
a
i
. (3)
Определение. Тензором валентности (p, q) на V называется полилинейная
функция T = T (ξ
1
, . . . , ξ
p
, a
1
, . . . , a
q
) от p ковекторных и q векторных аргумен-
тов.
В частности, тензор валентности (p, 0) называется контравариантным. В даль-
нейшем для простоты мы ограничимся рассмотрением, например, тензоров валент-
ности (1, 2) .
Если разложить аргументы тензора по базисам соответствующих пространств, то
в силу его полилинейности получим
T (ξ, a, b) = T
i
jk
ξ
i
a
j
b
k
. (4)
Компоненты этого тензора
T
i
jk
= T (e
i
, e
j
, e
k
) (5)
суть его значения на базисных элементах.
Для того, чтобы получить закон преобразования этих компонент при переходе к
другому базису, следует иметь ввиду, что одновременно с преобразованием e
i
0
= A
i
i
0
e
i
базиса в V преобразуется и сопряженный базис e
i
0
= A
i
0
i
e
i
с помощью обратной мат-
рицы A
−1
= (A
i
0
i
) (мы различаем эти матрицы положением штрихованного индекса).
Действительно, пусть при этом преобразовании e
i
0
= B
i
0
i
e
i
. Из условия сопряженно-
сти преобразованных базисов e
i
0
(e
j
0
) = δ
i
0
j
0
имеем
B
i
0
i
e
i
(A
j
j
0
e
j
) = B
i
0
i
A
j
j
0
δ
i
j
= B
i
0
i
A
i
j
0
= δ
i
0
j
0
,
т. е. BA = E , откуда и следует, что B = A
−1
. Тогда из (5) получим следующий
закон преобразования компонент тензора
T
i
0
j
0
k
0
= A
i
0
i
T
i
jk
A
j
j
0
A
k
k
0
. (6)
Отсюда вытекает основное свойство тензора:
Теорема 1. Если компоненты тензора равны нулю в каком либо базисе, то они
равны нулю и в любом другом базисе.
Рассмотрим ковариантные или контравариантные тензоры.
Определение. Тензор называется симметричным, если при транспозиции лю-
бой пары своих аргументов (индексов) он не изменяется и кососимметричным, если
он изменяет свой знак.
Тензор может быть симметричным или кососимметричным не по всем аргументам,
а лишь по некоторой их части. Условия симметрии или косой симметрии снижают
число существенных компонент тензора. Так называются компоненты, не равные
тождественно нулю и определенные с точностью до знака.
Примеры.
1) Тензор валентности (1, 1) имеет вид T (ξ, a) = T
i
j
ξ
i
a
j
. Его можно отождествить
с линейным оператором A : V → V следующим образом: T (ξ, a) = ξ(Aa) . Этот
оператор в выбранном базисе имеет матрицу (T
i
j
) , составленную из компонент этого
тензора.
2

обозначать верхними индексами. Выберем его так, чтобы выполнялось условие со-
пряженности ei (ej ) = δji . Разложение всякой линейной формы по кобазису ξ = ξi ei
дает ее компоненты ξi = ξ(ei ) , а значение на любом векторе равно
                                     ξ(a) = ξ(ai ei ) = ξi ai .                        (3)
  Определение. Тензором валентности (p, q) на V называется полилинейная
функция T = T (ξ1 , . . . , ξp , a1 , . . . , aq ) от p ковекторных и q векторных аргумен-
тов.
  В частности, тензор валентности (p, 0) называется контравариантным. В даль-
нейшем для простоты мы ограничимся рассмотрением, например, тензоров валент-
ности (1, 2) .
  Если разложить аргументы тензора по базисам соответствующих пространств, то
в силу его полилинейности получим
                                                    i
                                    T (ξ, a, b) = T jk ξi aj bk .                      (4)
Компоненты этого тензора
                                          i
                                        T jk = T (ei , ej , ek )                       (5)
суть его значения на базисных элементах.
  Для того, чтобы получить закон преобразования этих компонент при переходе к
другому базису, следует иметь ввиду, что одновременно с преобразованием ei0 = Aii0 ei
                                                     0 0
базиса в V преобразуется и сопряженный базис ei = Aii ei с помощью обратной мат-
               0
рицы A−1 = (Aii ) (мы различаем эти матрицы положением штрихованного индекса).
                                                     0  0
Действительно, пусть при этом преобразовании ei = Bii ei . Из условия сопряженно-
                                0           0
сти преобразованных базисов ei (ej 0 ) = δji 0 имеем
                            0                     0                0          0
                         Bii ei (Ajj 0 ej ) = Bii Ajj 0 δji = Bii Aij 0 = δji 0 ,
т. е. BA = E , откуда и следует, что B = A−1 . Тогда из (5) получим следующий
закон преобразования компонент тензора
                                         0            0
                                     T ji 0 k0 = Aii T jk
                                                       i
                                                          Ajj 0 Akk0 .                 (6)
Отсюда вытекает основное свойство тензора:
Теорема 1. Если компоненты тензора равны нулю в каком либо базисе, то они
равны нулю и в любом другом базисе.
  Рассмотрим ковариантные или контравариантные тензоры.
  Определение. Тензор называется симметричным, если при транспозиции лю-
бой пары своих аргументов (индексов) он не изменяется и кососимметричным, если
он изменяет свой знак.
  Тензор может быть симметричным или кососимметричным не по всем аргументам,
а лишь по некоторой их части. Условия симметрии или косой симметрии снижают
число существенных компонент тензора. Так называются компоненты, не равные
тождественно нулю и определенные с точностью до знака.
  Примеры.
  1) Тензор валентности (1, 1) имеет вид T (ξ, a) = T ji ξi aj . Его можно отождествить
с линейным оператором A : V → V следующим образом: T (ξ, a) = ξ(Aa) . Этот
оператор в выбранном базисе имеет матрицу (T ji ) , составленную из компонент этого
тензора.

Страницы