Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 41 стр.

                                                                    35

   2) Проекция на нормальную плоскость {y, z} имеет параметрические
уравнения
                                1         1
                           y = ks2 , z = kqs3 .
                                2         6
После исключения параметра получим полукубическую параболу z 2 =
q2 3            q2
6k y  . Так как 6k > 0 , то ее ветви обращены в положительную сторону
главной нормали.
   3) Рассмотрим, наконец, проекцию на спрямляющую плоскость {x, z}
                                        1
                             x = s , z = kqs3 .
                                        6
Это кубическая парабола с приведенным уравнением z = 16 kqx3 . Ее рас-
положение на плоскости зависит от знака кручения: при q > 0 она про-
ходит через 1-й и 3-й квадранты, а при q < 0 через 2-й и 4-й.
   Теперь можно сделать вывод о поведении кривой в целом. Для этого
вернемся к уравнениям (39) и рассмотрим сначала случай, когда круче-
ние кривой положительно: q > 0 . Тогда при переходе от отрицательных
к положительным значениям параметра знаки координат меняются сле-
дующим образом
                                      x y z
                               s<0 — + —
                               s>0 + + +
Отсюда видно, что в окрестности начальной точки кривая имеет форму
правого винта.
   Рассмотрим теперь случай, когда кручение кривой отрицательно. То-
гда при переходе от отрицательных к положительным значениям пара-
метра знаки координат меняются так
                                x y z
                            s<0 — + +
                            s>0 + + —
Здесь знак координаты z изменился на противоположный, т. е. произо-
шло зеркальное отражение относительно соприкасающейся плоскости. В
результате в окрестности начальной точки кривая имеет форму левого
винта.