Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

33
радиус-вектор произвольной "вмороженной"точки твердого тела относи-
тельно центра вращения r(s) . Тогда ее линейная скорость, как известно
из механики твердого тела, равна
d~ρ
dt
= [~ω, ~ρ] . В частности, для точек с
радиусами-векторами e = (1, 0, 0) , n = (0, 1, 0) и b = (0, 0, 1) получим
(
de
ds
= [~ω, e] = (0, ω
3
, −ω
2
),
dn
ds
= [~ω, n] = (−ω
3
, 0, ω
1
),
db
ds
= [~ω, b] = (ω
2
, −ω
1
, 0).
Сравнивая эти формулы с уравнениями Френе (36), получим kn = [~ω, e] ,
−ke + qb = [~ω, n] , qn = [~ω, b] . Отсюда придем к выводу, что ω
1
=
q , ω
2
= 0 , ω
3
= k . Таким образом, вектор угловой скорости равен
~ω = qe + kb . Он принадлежит спрямляющей плоскости и называется
вектором Дарбу.
8.3. Вычисление кривизны и кручения.
Для вычисления кривизны и кручения кривой вернемся к уравнениям
Френе. Из них мы имеем
˙
r = e,
¨
r = kn . Нам понадобится еще третья
производная радиуса-вектора
...
r =
d
ds
(kn) = −q
2
e +
˙
kn + kqb .
Подсчитаем векторное и смешанное произведения
[
˙
r,
¨
r] = [e, kn] = kb, (
˙
r,
¨
r,
...
r ) = (kb,
...
r ) = k
2
q.
Отсюда следует, что
k(s) = | [
˙
r,
¨
r]|, q(s) =
(
˙
r,
¨
r,
...
r )
[
˙
r,
¨
r]
2
. (37)
Пусть теперь кривая задана в произвольной параметризации: r = r(t) .
Выразим производные по натуральному параметру через производные
по t . Получим
˙
r = r
0
˙
t,
¨
r = r
00
(
˙
t)
2
+ r
0
¨
t,
...
r
= r
000
(
˙
t)
3
+ 3r
00
˙
t
¨
t + r
0
...
t
,
откуда
[
˙
r,
¨
r] = [r
0
, r
00
](
˙
t)
3
, (
˙
r,
¨
r,
...
r ) = (r
0
, r
00
, r
000
)(
˙
t)
6
.
Подставляя эти выражения в формулы (37), получим
k = |[r
0
, r
00
]|
˙
t|
3
, q =
(r
0
, r
00
, r
000
)
[r
0
, r
00
]
2
.
                                                                                                 33

радиус-вектор произвольной "вмороженной"точки твердого тела относи-
тельно центра вращения r(s) . Тогда ее линейная скорость, как известно
из механики твердого тела, равна d~  ρ
                                    dt = [~
                                          ω , ρ~] . В частности, для точек с
радиусами-векторами e = (1, 0, 0) , n = (0, 1, 0) и b = (0, 0, 1) получим
                   ( de = [~ω , e] = (0, ω , −ω ),
                              ds                                    3        2
                              dn
                              ds    = [~ω , n] = (−ω3 , 0, ω1 ),
                              db
                              ds    = [~ω , b] = (ω2 , −ω1 , 0).
Сравнивая эти формулы с уравнениями Френе (36), получим kn = [~ω , e] ,
−ke + qb = [~ω , n] , qn = [~ω , b] . Отсюда придем к выводу, что ω1 =
q , ω2 = 0 , ω3 = k . Таким образом, вектор угловой скорости равен
ω
~ = qe + kb . Он принадлежит спрямляющей плоскости и называется
вектором Дарбу.

  8.3. Вычисление кривизны и кручения.

  Для вычисления кривизны и кручения кривой вернемся к уравнениям
Френе. Из них мы имеем ṙ = e, r̈ = kn . Нам понадобится еще третья
производная радиуса-вектора
                      ...   d
                       r = (kn) = −q 2 e + k̇n + kqb .
                            ds
Подсчитаем векторное и смешанное произведения
                                            ...        ...
           [ṙ, r̈] = [e, kn] = kb, (ṙ, r̈, r ) = (kb, r ) = k 2 q.
Отсюда следует, что
                                                                        ...
                                                               (ṙ, r̈, r )
                          k(s) = |[ṙ, r̈]| ,           q(s) =              .                  (37)
                                                                 [ṙ, r̈]2
  Пусть теперь кривая задана в произвольной параметризации: r = r(t) .
Выразим производные по натуральному параметру через производные
по t . Получим
                                              ...                            ...
          ṙ = r0 ṫ, r̈ = r00 (ṫ)2 + r0 ẗ, r = r000 (ṫ)3 + 3r00 ṫẗ + r0 t ,
откуда
                                                            ...
                [ṙ, r̈] = [r0 , r00 ](ṫ)3 ,       (ṙ, r̈, r ) = (r0 , r00 , r000 )(ṫ)6 .
Подставляя эти выражения в формулы (37), получим
                                     0   00     3           (r0 , r00 , r000 )
                          k = |[r , r ]|ṫ| ,            q=                    .
                                                              [r0 , r00 ]2

Страницы