Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

32
ЛЕКЦИЯ 8. СТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ.
8.1. Геометрический смысл кривизны и кручения.
Для того, чтобы выяснить геометрический смысл кривизны, рассмот-
рим первое уравнение Френе и поступим таким же образом, как и в
случае плоских кривых. Мы имеем k(s) = |
de
ds
|. По определению про-
изводной
˙
e = lim
h→0
1
|h|
(e(s + h) − e(s)) , так что k(s) = lim
h→0
|4e|
|h|
. Но так
как векторная функция e(s) имеет единичный модуль, то выражение в
числителе с точностью до малых второго порядка можно заменить на
угол поворота этого вектора при его движении по кривой. В результа-
те получим k(s) = lim
h→0
|
ϕ
h
|. Таким образом, как и для плоских кривых,
справедлива
Теорема 19. Кривизна кривой есть предел отношения модуля скоро-
сти поворота ее касательного вектора по отношению к дуге, на кото-
рой этот поворот происходит.
Аналогичным образом устанавливается и геометрический смысл кру-
чения. Он вытекает из третьего уравнения Френе. Обозначим через φ
угол поворота вектора бинормали b на дуге h . Тогда справедлива
Теорема 20. Абсолютная величина кручения кривой есть предел отно-
шения модуля скорости поворота ее вектора бинормали по отношению
к дуге, на которой этот поворот происходит: |ω| = lim
h→0
|
φ
h
|.
Доказательство аналогично.
8.2. Кинематический смысл кривизны и кручения.
Рассмотрим параметризованную кривую r = r(t) как траекторию дви-
жения точки. При этом параметр t имеет смысл времени. Будем рас-
сматривать сопровождающий репер как твердое тело, которое движется
вдоль кривой. При этом мы будем считать, что центр репера движется
равномерно с единичной скоростью v = |r
0
| = 1 , так что t является
натуральным параметром. Но всякое движение репера в пространстве
состоит из переноса его центра и вращения. Перенеся репер из точки
r(s + h) параллельно в исходную точку r(s) , рассмотрим затем его вра-
щение вокруг этой точки. Только это вращение будет сейчас представ-
лять для нас интерес. Как известно из кинематики, в каждый момент
времени оно представляет собой вращение вокруг некоторой мгновенной
оси с вектором угловой скорости ~ω = (ω
1
, ω
2
, ω
3
) . Обозначим через ~ρ
32

      ЛЕКЦИЯ 8. СТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ.

     8.1. Геометрический смысл кривизны и кручения.

  Для того, чтобы выяснить геометрический смысл кривизны, рассмот-
рим первое уравнение Френе и поступим таким же образом, как и в
случае плоских кривых. Мы имеем k(s) = | de     ds | . По определению про-
изводной ė = lim |h| (e(s + h) − e(s)) , так что k(s) = lim |4e|
                   1
                                                                |h| . Но так
                 h→0                                       h→0
как векторная функция e(s) имеет единичный модуль, то выражение в
числителе с точностью до малых второго порядка можно заменить на
угол поворота этого вектора при его движении по кривой. В результа-
те получим k(s) = lim | ϕh | . Таким образом, как и для плоских кривых,
                   h→0
справедлива
Теорема 19. Кривизна кривой есть предел отношения модуля скоро-
сти поворота ее касательного вектора по отношению к дуге, на кото-
рой этот поворот происходит.
  Аналогичным образом устанавливается и геометрический смысл кру-
чения. Он вытекает из третьего уравнения Френе. Обозначим через φ
угол поворота вектора бинормали b на дуге h . Тогда справедлива
Теорема 20. Абсолютная величина кручения кривой есть предел отно-
шения модуля скорости поворота ее вектора бинормали по отношению
к дуге, на которой этот поворот происходит: |ω| = lim | φh | .
                                                         h→0

     Доказательство аналогично.

     8.2. Кинематический смысл кривизны и кручения.

  Рассмотрим параметризованную кривую r = r(t) как траекторию дви-
жения точки. При этом параметр t имеет смысл времени. Будем рас-
сматривать сопровождающий репер как твердое тело, которое движется
вдоль кривой. При этом мы будем считать, что центр репера движется
равномерно с единичной скоростью v = |r0 | = 1 , так что t является
натуральным параметром. Но всякое движение репера в пространстве
состоит из переноса его центра и вращения. Перенеся репер из точки
r(s + h) параллельно в исходную точку r(s) , рассмотрим затем его вра-
щение вокруг этой точки. Только это вращение будет сейчас представ-
лять для нас интерес. Как известно из кинематики, в каждый момент
времени оно представляет собой вращение вокруг некоторой мгновенной
оси с вектором угловой скорости ω~ = (ω1 , ω2 , ω3 ) . Обозначим через ρ~

Страницы