Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 36 стр.

30

  Приступим к изучению движения сопровождающего репера вдоль кри-
вой. Для этого отнесем кривую к натуральному параметру. Пусть центр
репера смещается из точки r(s) в точку r(s + h) . Рассматривая плос-
кие кривые, мы уже видели, что с точностью до малых первого поряд-
ка положение векторов репера в этой точке определяется их первыми
производными. Найдем координаты производных ė, ṅ, ḃ относительно
исходного репера. Производная ė = r̈ есть вектор кривизны, имеющий
направление главной нормали. Поэтому ė = k(s)n . Здесь k(s) — неотри-
цательная функция, называемая кривизной. Вычислим теперь производ-
ную орта бинормали ḃ . С одной стороны, эта производная ортогональна
вектору b . С другой, дифференцируя тождество b = [e, n] , получим
               ḃ = [ė, n] + [e, ṅ] = [kn, n] + [e, ṅ] = [e, ṅ].
Следовательно, эта производная ортогональна также касательному век-
тору и поэтому имеет направление главной нормали. Значит, ḃ = −qn .
Функция q(s) называется кручением кривой. Теперь мы можем вычис-
лить производную вектора n :
           d
      ṅ = [b, e] = [ḃ, e] + [b, ė] = [−qn, e] + [b, kn] = −ke + qb.
          ds
Итак, мы получили следующий результат:
                 ( de =                  k(s)n,
                      ds
                      dn
                      ds   = −k(s)e         +q(s)b,                    (36)
                      db
                      ds   =        −q(s)n.
Это система линейных дифференциальных уравнений первого порядка,
которые называются уравнениями Френе. Из теории таких систем из-
вестно, что если заданы начальные условия, то в некоторой окрестности
начальной точки s = 0 существует единственное решение {e(s), n(s), b(s)} .
Таким образом, можно сформулировать такой вывод:
Теорема 17. Движение сопровождающего репера пространственной
кривой определяется уравнениями Френе и зависит только от ее кри-
визны и кручения.
  Теперь мы можем ответить на вопрос, при каком условии простран-
ственная кривая является плоской? Ответ на него дает следующая
Теорема 18. Кривая Γ является плоской тогда и только тогда, когда
ее кручение равно нулю.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть кривая с параметрическим уравнением
r = r(t) плоская, т. е. ее носитель принадлежит некоторой плоскости Π .
Тогда векторы r0 (t) и r00 (t) лежат в этой же плоскости и, следовательно,