Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

28
Определение. Соприкасающейся плоскостью кривой в данной ее точ-
ке называется плоскость, содержащая вектор кривизны.
Обозначим ее Π . Таким образом, если кривая отнесена к натурально-
му параметру, то векторы
˙
r и
¨
r являются ее направляющими векторами
и уравнение этой плоскости легко записать. Как находить соприкасаю-
щуюся плоскость, если кривая задана в произвольной параметризации?
Для этого нам понадобится
Теорема 16. При любой параметризации вектор второй производной
r
00
принадлежит соприкасающейся плоскости.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из формул
r
0
=
˙
rs
0
, r
00
=
¨
r(s
0
)
2
+
˙
rs
00
Вторая из них показывает, что вектор r
00
есть линейная комбинация орта
касательного вектора и вектора кривизны. Значит, он лежит в соприка-
сающейся плоскости. ¤
Запишем уравнение соприкасающейся плоскости. Для этого надо вы-
числить ее нормальный вектор B(t) = [r
0
, r
00
] . Он называется вектором
бинормали кривой, а прямая B , проходящая через точку кривой в его
направлении – бинормалью. Уравнение плоскости Π запишется в виде
(R − r(t), B) = 0 .
Рассмотрим теперь случай, когда кривая задана неявными уравнения-
ми (33). Пусть x = x(t), y = y(t), z = z(t) суть параметрические уравне-
ния этой кривой. Тогда мы имеем два тождества: F (x(t), y(t), z(t)) ≡ 0
и G(x(t), y(t), z(t)) ≡ 0 . Дифференцируя их, получим два новых тожде-
ства
F
x
x
0
+ F
y
y
0
+ F
z
z
0
≡ 0, G
x
x
0
+ G
y
y
0
+ G
z
z
0
≡ 0.
Из них следует, что векторы N
1
= gradF и N
2
= gradG ортогональны
кривой в ее точках (они ортогональны к соответствующим поверхностям)
и поэтому касательный вектор кривой с точностью до множителя равен
[N
1
, N
2
] , а его координаты — это миноры якобиевой матрицы (34).
Пример. Найдем уравнение соприкасающейся плоскости винтовой ли-
нии r = ae(ϕ) + bϕk в точке ϕ = 0 . Эта точка имеет координаты
r
0
= (a, 0, 0) . Векторы первой и второй производной равны
r
0
= ag(ϕ) + bk, r
00
= −ae(ϕ)
и в данной точке имеют координаты r
0
0
= (0, a, b) , r
00
0
= (−a, 0, 0) . Следо-
вательно, вектор бинормали равен B
0
= (0, −ab, a
2
) . Поэтому уравнение
соприкасающейся плоскости имеет вид
by
−
az
= 0
.
Задача. Докажите, что плоская кривая лежит в своей соприкаса-
ющейся плоскости.
28

  Определение. Соприкасающейся плоскостью кривой в данной ее точ-
ке называется плоскость, содержащая вектор кривизны.
  Обозначим ее Π . Таким образом, если кривая отнесена к натурально-
му параметру, то векторы ṙ и r̈ являются ее направляющими векторами
и уравнение этой плоскости легко записать. Как находить соприкасаю-
щуюся плоскость, если кривая задана в произвольной параметризации?
Для этого нам понадобится
Теорема 16. При любой параметризации вектор второй производной
r00 принадлежит соприкасающейся плоскости.
     Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из формул
                          r0 = ṙs0 ,   r00 = r̈(s0 )2 + ṙs00
Вторая из них показывает, что вектор r00 есть линейная комбинация орта
касательного вектора и вектора кривизны. Значит, он лежит в соприка-
сающейся плоскости. ¤
  Запишем уравнение соприкасающейся плоскости. Для этого надо вы-
числить ее нормальный вектор B(t) = [r0 , r00 ] . Он называется вектором
бинормали кривой, а прямая B , проходящая через точку кривой в его
направлении – бинормалью. Уравнение плоскости Π запишется в виде
(R − r(t), B) = 0 .
  Рассмотрим теперь случай, когда кривая задана неявными уравнения-
ми (33). Пусть x = x(t), y = y(t), z = z(t) суть параметрические уравне-
ния этой кривой. Тогда мы имеем два тождества: F (x(t), y(t), z(t)) ≡ 0
и G(x(t), y(t), z(t)) ≡ 0 . Дифференцируя их, получим два новых тожде-
ства
               Fx x0 + Fy y 0 + Fz z 0 ≡ 0, Gx x0 + Gy y 0 + Gz z 0 ≡ 0.
Из них следует, что векторы N1 = gradF и N2 = gradG ортогональны
кривой в ее точках (они ортогональны к соответствующим поверхностям)
и поэтому касательный вектор кривой с точностью до множителя равен
[N1 , N2 ] , а его координаты — это миноры якобиевой матрицы (34).
  Пример. Найдем уравнение соприкасающейся плоскости винтовой ли-
нии r = ae(ϕ) + bϕk в точке ϕ = 0 . Эта точка имеет координаты
r0 = (a, 0, 0) . Векторы первой и второй производной равны
                       r0 = ag(ϕ) + bk,         r00 = −ae(ϕ)
и в данной точке имеют координаты r00 = (0, a, b) , r000 = (−a, 0, 0) . Следо-
вательно, вектор бинормали равен B0 = (0, −ab, a2 ) . Поэтому уравнение
соприкасающейся плоскости имеет вид by − az = 0 .
  Задача. Докажите, что плоская кривая лежит в своей соприкаса-
ющейся плоскости.

Страницы