Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26
ЛЕКЦИЯ 7. КРИВЫЕ В 3-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
7.1. Уравнения пространственной кривой.
Кривая в евклидовом пространстве E
3
может быть задана разными
способами:
1) Параметрическими уравнениями r = r(t) или в декартовых коор-
динатах
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
При регулярной параметризации касательный вектор r
0
= (x
0
, y
0
, z
0
) 6= 0 .
В частности, кривая может быть отнесена к натуральному параметру s ,
который связан с параметром t формулой
s =
Z
t
t
◦
|r
0
(t)|dt =
Z
t
t
◦
p
x
02
+ y
02
+ z
02
dt.
Так же, как и для плоских кривых, касательный вектор
˙
r в этом случае
является единичным и поэтому вектор второй производной
¨
r к нему
ортогонален. Он называется вектором кривизны кривой.
2) Кривая может быть задана неявными уравнениями
F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. (33)
Каждое из этих уравнений задает, вообще говоря, поверхность, а кривая
есть пересечение этих поверхностей. Однако, не всегда такая система за-
дает кривую. Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим якобиеву
матрицу
J =
µ
F
x
F
y
F
z
G
x
G
y
G
z
(34)
и применим теорему о неявных функциях.
Теорема 15. Непустое множество Γ решений системы (33) есть ре-
гулярно параметризованая кривая в пространстве, если: 1) функции
F, G гладкие; 2) на этом множестве rankJ=2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ранг системы максимален, то по тео-
реме о неявных функциях ее можно локально разрешить относительно
двух переменных. Рассмотрим, например, окрестность, в которой отли-
чен от нуля минор якобиевой матрицы, образованный двумя последними
столбцами:
¯
¯
¯
¯
F
y
F
z
G
y
G
z
¯
¯
¯
¯
6= 0 . Тогда в этой окрестности имеем локальное
решение y = f(x), z = g(x) . В такой форме уравнение кривой называет-
ся приведенным. От него легко перейти к параметрическим уравнениям.
26

         ЛЕКЦИЯ 7. КРИВЫЕ В 3-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ
                      ПРОСТРАНСТВЕ

     7.1. Уравнения пространственной кривой.

  Кривая в евклидовом пространстве E3 может быть задана разными
способами:
  1) Параметрическими уравнениями r = r(t) или в декартовых коор-
динатах
                    x = x(t), y = y(t), z = z(t).
При регулярной параметризации касательный вектор r0 = (x0 , y 0 , z 0 ) 6= 0 .
В частности, кривая может быть отнесена к натуральному параметру s ,
который связан с параметром t формулой
                    Z t              Z tp
                s=      |r0 (t)|dt =      x02 + y 02 + z 02 dt.
                       t◦                t◦
Так же, как и для плоских кривых, касательный вектор ṙ в этом случае
является единичным и поэтому вектор второй производной r̈ к нему
ортогонален. Он называется вектором кривизны кривой.
  2) Кривая может быть задана неявными уравнениями
                      F (x, y, z) = 0,        G(x, y, z) = 0.            (33)
Каждое из этих уравнений задает, вообще говоря, поверхность, а кривая
есть пересечение этих поверхностей. Однако, не всегда такая система за-
дает кривую. Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим якобиеву
матрицу                      µ             ¶
                                Fx Fy Fz
                         J=                                        (34)
                                Gx Gy Gz
и применим теорему о неявных функциях.
Теорема 15. Непустое множество Γ решений системы (33) есть ре-
гулярно параметризованая кривая в пространстве, если: 1) функции
F, G гладкие; 2) на этом множестве rankJ=2.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ранг системы максимален, то по тео-
реме о неявных функциях ее можно локально разрешить относительно
двух переменных. Рассмотрим, например, окрестность, в которой отли-
чен от нуля минор
             ¯       якобиевой
                        ¯         матрицы, образованный двумя последними
             ¯ F Fz ¯
столбцами: ¯¯ y         ¯ 6= 0 . Тогда в этой окрестности имеем локальное
               Gy Gz ¯
решение y = f (x), z = g(x) . В такой форме уравнение кривой называет-
ся приведенным. От него легко перейти к параметрическим уравнениям.

Страницы