Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

24
Пример. Рассмотрим опять пучок прямых F = ax − y = 0 . Система
(32) имеет вид
ax − y = 0, x = 0
и имеет решение x = 0, y = 0 . Это центр пучка.
В связи с этим возникает вопрос, что может представлять собой дис-
криминантное множество и в каком случае оно является огибающей се-
мейства? Ответ получается следующий:
Теорема 13. Дискриминантное множество Γ является огибающей,
если в точках этого множества gradF
¯
¯
¯
Γ
6= 0 , множеством особых
точек кривых семейства при gradF
¯
¯
¯
Γ
= 0 или вырождается в точку.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, мы нашли решение системы
(32). Подставив его в ее уравнения, получим два тождества. Первое из
них F(x(a), y(a), a) ≡ 0 продифференцируем по параметру. С учетом
второго тождества получим новое тождество
(gradF, r
0
a
) = F
x
dx
da
+ F
y
dy
da
≡ 0.
В каких случаях оно может выполняться? 1) Если в точках дискри-
минантного множества gradF 6= 0 и r
0
a
6= 0 , то оно означает ортого-
нальность этих ненулевых векторов и значит мы имеем дело с огибаю-
щей; 2) Тождество выполняется в силу того, что при любых значениях
параметра a мы имеем gradF
¯
¯
¯
Γ
≡ 0 . Тогда мы имеем дело с множе-
ством особых точек (п. 4.3); 3) Тождество выполняется в силу того, что
r
0
a
= (
dx
da
,
dy
da
) ≡ 0 . Тогда x = c
1
, y = c
2
суть константы и мы получаем
точку. Теорема доказана. ¤
Заметим, что эти случаи могут появляться одновременно в разных ком-
бинациях.
Пример. Рассмотрим семейство кривых (x − a)
3
− (y − a)
2
= 0 . Они
получены из полукубической параболы y
2
= x
3
параллельным перено-
сом вдоль биссектрисы y = x . Найдем дискриминантное множество.
Дифференцируя по параметру a , получим систему
(x − a)
3
− (y − a)
2
= 0, 3(x − a)
2
− 2(y − a) = 0.
Отсюда получаем (x −a)
3
(1 −
9
4
(x −a)) = 0 . Таким образом, эта система
имеет решения x = a, y = a и x = a +
4
9
, y = a +
8
27
. Это две парал-
лельные прямые с уравнениями
y
=
x
и
y
=
x
−
4
27
. Нетрудно видеть,
что первая из них есть множество особых точек, образованных точками
возврата, а вторая — огибающая.
24

  Пример. Рассмотрим опять пучок прямых F = ax − y = 0 . Система
(32) имеет вид
                         ax − y = 0, x = 0
и имеет решение x = 0, y = 0 . Это центр пучка.
  В связи с этим возникает вопрос, что может представлять собой дис-
криминантное множество и в каком случае оно является огибающей се-
мейства? Ответ получается следующий:
Теорема 13. Дискриминантное множество¯    Γ является огибающей,
                                     ¯
если в точках этого множества gradF ¯ 6= 0 , множеством особых
                                 ¯     Γ
                                 ¯
точек кривых семейства при gradF ¯ = 0 или вырождается в точку.
                                       Γ

  Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, мы нашли решение системы
(32). Подставив его в ее уравнения, получим два тождества. Первое из
них F (x(a), y(a), a) ≡ 0 продифференцируем по параметру. С учетом
второго тождества получим новое тождество
                                        dx    dy
                      (gradF, r0a ) = Fx + Fy    ≡ 0.
                                        da    da
В каких случаях оно может выполняться? 1) Если в точках дискри-
минантного множества gradF 6= 0 и r0a 6= 0 , то оно означает ортого-
нальность этих ненулевых векторов и значит мы имеем дело с огибаю-
щей; 2) Тождество выполняется¯ в силу того, что при любых значениях
                                    ¯
параметра a мы имеем gradF ¯ ≡ 0 . Тогда мы имеем дело с множе-
                                 Γ
ством особых точек (п. 4.3); 3) Тождество выполняется в силу того, что
             dy
r0a = ( dx
        da , da ) ≡ 0 . Тогда x = c1 , y = c2 суть константы и мы получаем
точку. Теорема доказана. ¤
   Заметим, что эти случаи могут появляться одновременно в разных ком-
бинациях.
   Пример. Рассмотрим семейство кривых (x − a)3 − (y − a)2 = 0 . Они
получены из полукубической параболы y 2 = x3 параллельным перено-
сом вдоль биссектрисы y = x . Найдем дискриминантное множество.
Дифференцируя по параметру a , получим систему
           (x − a)3 − (y − a)2 = 0,   3(x − a)2 − 2(y − a) = 0.
Отсюда получаем (x − a)3 (1 − 49 (x − a)) = 0 . Таким образом, эта система
имеет решения x = a, y = a и x = a + 94 , y = a + 27    8
                                                          . Это две парал-
                                                      4
лельные прямые с уравнениями y = x и y = x − 27 . Нетрудно видеть,
что первая из них есть множество особых точек, образованных точками
возврата, а вторая — огибающая.

Страницы